kąt trójścienny i kule

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
theoldwest
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 251
Rejestracja: 2 gru 2012, o 20:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Great Plains
Podziękował: 86 razy

kąt trójścienny i kule

Post autor: theoldwest »

W kąt trójścienny o kątach płaskich o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\) (potraktować jako daną liczbę) wpisano dwie, styczne zewnętrznie ze sobą kule \(\displaystyle{ K_1,K_2}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \frac{R_{K_1}}{R_{K_2}}}\) (stosunek długości promieni tych kul).
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

kąt trójścienny i kule

Post autor: anna_ »

kąt trójścienny i kule.png
kąt trójścienny i kule.png (38.83 KiB) Przejrzano 449 razy
Mam rysunek, pomysłu na rozwiązanie na razie brak.
Wydaje mi się, że to tak powinno wyglądać.
\(\displaystyle{ S}\) to wierzchołek kąta trójściannego (jest wierzchołkiem kątów \(\displaystyle{ \alpha}\)), czerwone przerywane linie to dwusieczne.
Trójkąt \(\displaystyle{ ODS}\)jest równoramienny.
\(\displaystyle{ SO}\) i \(\displaystyle{ SD}\) to tworzące stożka, w który wpisane są te dwie kule.
Ostatnio zmieniony 24 sty 2013, o 19:52 przez anna_, łącznie zmieniany 2 razy.
theoldwest
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 251
Rejestracja: 2 gru 2012, o 20:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Great Plains
Podziękował: 86 razy

kąt trójścienny i kule

Post autor: theoldwest »

Hm... Może to głupie pytanie, ale nie wiem jak pokazać, że \(\displaystyle{ S,O_1,O_2}\) leżą na jednej prostej. Możesz napisać z czego to wynika lub przynajmniej dać jakieś wskazówki?
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

kąt trójścienny i kule

Post autor: anna_ »

W sumie mamy do czynienia z czworościanem. Można w niego wpisać stożek. Dwusieczne kątów i \(\displaystyle{ SO}\) to tworzące tego stożka. Środki kul wpisanych w stożek leża na wysokości stożka, czyli na\(\displaystyle{ S'S}\).-- dzisiaj, o 19:47 --Masz do tego odpowiedź?
theoldwest
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 251
Rejestracja: 2 gru 2012, o 20:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Great Plains
Podziękował: 86 razy

kąt trójścienny i kule

Post autor: theoldwest »

niestety nie
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

kąt trójścienny i kule

Post autor: anna_ »

\(\displaystyle{ SD=d}\)
\(\displaystyle{ R}\) - promień dużej kuli
\(\displaystyle{ r}\) - promień małej kuli
\(\displaystyle{ AB=BC=CA=a}\)
\(\displaystyle{ SS'=H}\)

Z trójkąta \(\displaystyle{ ADS}\)
\(\displaystyle{ \tg{\frac{\alpha}{2}}= \frac{ \frac{a}{2} }{d}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{2} =d\tg\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ a=2d \tg \frac{\alpha}{2}}\)

Z trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)
\(\displaystyle{ S'D= \frac{1}{3} AD= \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2d \tg \frac{\alpha}{2} \sqrt{3} }{2} = \frac{d \sqrt{3} \tg \frac{\alpha}{2}}{3}}\)

Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ SD'S}\) i \(\displaystyle{ O_1ES}\)
\(\displaystyle{ \frac{R}{H-R}=\frac{S'D}{d}\\
\frac{R}{H-R}=\frac{ \frac{d \sqrt{3} \tg \frac{\alpha}{2}}{3}}{d}\\
\frac{R}{H-R}= \frac{ \sqrt{3} \tg \frac{\alpha}{2}}{3}}\\
...\\
R= \frac{H\tg \frac{\alpha}{2}}{\tg \frac{\alpha}{2}+ \sqrt{3} }}\)


Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ O_2FS}\) i \(\displaystyle{ O_1ES}\)
\(\displaystyle{ \frac{R}{H-R}=\frac{r}{H-2R-r}\\
R(H-2R-r)=r(H-R)\\
RH-2R^2-Rr=rH-rR\\
RH-2R^2=rH\\
R(H-2R)=rH\\
\frac{r}{R}= \frac{H-2R}{H}\\
\frac{r}{R}=1- \frac{2R}{H}}\)


czyli
\(\displaystyle{ \frac{r}{R}=1- \frac{2 \cdot\frac{H\tg \frac{\alpha}{2}}{\tg \frac{\alpha}{2}+ \sqrt{3} }}{H}\\
\frac{r}{R}=1- \frac{2\tg \frac{\alpha}{2}}{\tg \frac{\alpha}{2}+ \sqrt{3} }}\\
\frac{r}{R}= \frac{\tg \frac{\alpha}{2}+ \sqrt{3} -2\tg \frac{\alpha}{2}}{\tg \frac{\alpha}{2}+ \sqrt{3} }}\\
\frac{r}{R}= \frac{-\tg \frac{\alpha}{2}+ \sqrt{3} }{\tg \frac{\alpha}{2}+ \sqrt{3} }}}\)


Nie jestem pewna czy dobrze, ale nic innego nie udało mi się wymyślić.
theoldwest
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 251
Rejestracja: 2 gru 2012, o 20:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Great Plains
Podziękował: 86 razy

kąt trójścienny i kule

Post autor: theoldwest »

Rozwiązanie rozumiem i wydaje mi się na pierwszy rzut oka, że nie ma błędu, w sumie to największy problem miałbym chyba z tym stożkiem wpisanym w ten czworościan skąd współliniowość punktów \(\displaystyle{ S,O_1,O_2}\) i równe boki trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Dziękuję bardzo!
ODPOWIEDZ