walec wpisany w stożek, objętość
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 8 sty 2012, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Pomorze
- Podziękował: 1 raz
walec wpisany w stożek, objętość
W stożek, którego przekrojem osiowym jest trójkąt równoboczny o boku \(\displaystyle{ a}\) wpisano walec o maksymalnej objętości. Oblicz stosunek objętości tego walca do objętości tego stożka.
Ostatnio zmieniony 21 sty 2013, o 20:09 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
walec wpisany w stożek, objętość
\(\displaystyle{ H=\frac{a \sqrt{3} }{2}}\)- wysokość stożka
\(\displaystyle{ R}\) - promień podstawy stożka
\(\displaystyle{ r}\) - promień podstawy walca
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość walca
Z podobieństwa trójkątów
\(\displaystyle{ \frac{H}{R} = \frac{h}{R-r}\\
h= \frac{H(R-r)}{R}\\
h= \frac{\frac{a \sqrt{3} }{2}( \frac{a}{2}-r )}{ \frac{a}{2} }\\
h= \frac{a \sqrt{3} }{2}-r \sqrt{3}}\)
Objętość walca
\(\displaystyle{ V=\pi r^2 h\\
V=\pi r^2 \cdot ( \frac{a \sqrt{3} }{2}-r \sqrt{3})\\
V= \frac{a \pi \sqrt{3} }{2}r^2-\pi \sqrt{3}r^3}\)
Liczysz \(\displaystyle{ V'(r)}\), potem \(\displaystyle{ r}\) z przyrównania pochodnej do zera i \(\displaystyle{ h}\) ze wzoru podanego wyżej. Potem szukany stosunek objętości brył.
\(\displaystyle{ R}\) - promień podstawy stożka
\(\displaystyle{ r}\) - promień podstawy walca
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość walca
Z podobieństwa trójkątów
\(\displaystyle{ \frac{H}{R} = \frac{h}{R-r}\\
h= \frac{H(R-r)}{R}\\
h= \frac{\frac{a \sqrt{3} }{2}( \frac{a}{2}-r )}{ \frac{a}{2} }\\
h= \frac{a \sqrt{3} }{2}-r \sqrt{3}}\)
Objętość walca
\(\displaystyle{ V=\pi r^2 h\\
V=\pi r^2 \cdot ( \frac{a \sqrt{3} }{2}-r \sqrt{3})\\
V= \frac{a \pi \sqrt{3} }{2}r^2-\pi \sqrt{3}r^3}\)
Liczysz \(\displaystyle{ V'(r)}\), potem \(\displaystyle{ r}\) z przyrównania pochodnej do zera i \(\displaystyle{ h}\) ze wzoru podanego wyżej. Potem szukany stosunek objętości brył.