walec wpisany w stożek, objętość

[wojusu]

W stożek, którego przekrojem osiowym jest trójkąt równoboczny o boku \(\displaystyle{ a}\) wpisano walec o maksymalnej objętości. Oblicz stosunek objętości tego walca do objętości tego stożka.

[anna_]

Pochodne były?

[wojusu]

były

[anna_]

\(\displaystyle{ H=\frac{a \sqrt{3} }{2}}\)- wysokość stożka
\(\displaystyle{ R}\) - promień podstawy stożka
\(\displaystyle{ r}\) - promień podstawy walca
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość walca

Z podobieństwa trójkątów
\(\displaystyle{ \frac{H}{R} = \frac{h}{R-r}\\
h= \frac{H(R-r)}{R}\\
h= \frac{\frac{a \sqrt{3} }{2}( \frac{a}{2}-r )}{ \frac{a}{2} }\\
h= \frac{a \sqrt{3} }{2}-r \sqrt{3}}\)

Objętość walca
\(\displaystyle{ V=\pi r^2 h\\
V=\pi r^2 \cdot ( \frac{a \sqrt{3} }{2}-r \sqrt{3})\\
V= \frac{a \pi \sqrt{3} }{2}r^2-\pi \sqrt{3}r^3}\)

Liczysz \(\displaystyle{ V'(r)}\), potem \(\displaystyle{ r}\) z przyrównania pochodnej do zera i \(\displaystyle{ h}\) ze wzoru podanego wyżej. Potem szukany stosunek objętości brył.

[wojusu]

dzięki