Ostrosłup prawidłowy czworokątny. Oblicz objętość i pole pow

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
prystaszd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 12 sty 2013, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mchawa

Ostrosłup prawidłowy czworokątny. Oblicz objętość i pole pow

Post autor: prystaszd »

1. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy ma długość 12cm krawędź boczna ma długość 24cm. oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa oraz kąt między ścinami bocznymi.
2. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt między ścianą boczną a podstawą ma miarę \(\displaystyle{ \beta}\), a wysokość podstawy ma długość b. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
3. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego którego pole powierzchni całkowitej jest równe 90\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), a pole powierzchni bocznej 54\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\).
4. Oblicz kąt nachylenia płaszczyzny bocznej do płaszczyzny podstawy i krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, jeśli krawędź podstawy ma długość 12cm, a krawędź boczna 20cm.
Z góry dziękuję za pomoc.
Awatar użytkownika
wujomaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2154
Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 299 razy

Ostrosłup prawidłowy czworokątny. Oblicz objętość i pole pow

Post autor: wujomaro »

Gdzie masz problemy? Podejmowałeś się próbie rozwiązania tych zadań?
Np. w 1 wystarczy tylko znajomość tw. Pitagorasa. Należy go zastosować dla trójkątów:
1) połowa przekątnej podstawy, wysokość bryły, krawędź boczna.
2) Połowa krawędzi podstawy, wysokość ściany bocznej, krawędź boczna.
Pozdrawiam!
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3050
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 816 razy

Ostrosłup prawidłowy czworokątny. Oblicz objętość i pole pow

Post autor: loitzl9006 »

1.
Narysuj sobie ten ostrosłup, a zauważysz trójkąt prostokątny o przyprostokątnych: połowa przekątnej podstawy długości \(\displaystyle{ 6 \sqrt{2}}\), wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H}\), i przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ 24}\) (krawędź boczna).
Z Pitagorasa wyliczasz \(\displaystyle{ H}\).
O tym pisał już wujomaro - jego 1)-wsza wskazówka.

Chcąc policzyć szukany kąt, wybierz sobie dwie sąsiadujące ze sobą ściany boczne ostrosłupa, i opuść wysokości \(\displaystyle{ h}\) tych ścian (trójkątów) na wspólną krawędź boczną tych dwóch wybranych ścian. Powstanie trójkąt równoramienny, gdzie wspomniane wysokości będą jego ramionami, zaś podstawę stanowić będzie przekątna podstawy.

Jak policzyć \(\displaystyle{ h}\)? Można policzyć pole ściany bocznej \(\displaystyle{ P_b}\). Aby to zrobić, musisz znać najpierw wysokość ściany bocznej (policzysz z Pitagorasa - wykorzystaj wskazówkę nr 2) którą podał wujomaro). Jak już będziesz miał policzone pole ściany bocznej czyli \(\displaystyle{ P_b}\), to wykorzystaj wzór

\(\displaystyle{ P_b=\frac12 \cdot 24 \cdot h}\)

z którego to wyliczysz \(\displaystyle{ h}\).

Do znalezienia szukanego kąta wykorzystaj twierdzenie cosinusów.
prystaszd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 12 sty 2013, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mchawa

Ostrosłup prawidłowy czworokątny. Oblicz objętość i pole pow

Post autor: prystaszd »

Dzięki za pomoc i to pierwsze zadanie mi wyszło ale nie wiem czy dobre mam wyniki jak by ktoś mógł sprawdzić to był bym wdzięczny.
V=288\(\displaystyle{ \sqrt{14}}\) a Ppc=144\(\displaystyle{ \sqrt{15}}\)+144
Awatar użytkownika
wujomaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2154
Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 299 razy

Ostrosłup prawidłowy czworokątny. Oblicz objętość i pole pow

Post autor: wujomaro »

Wyniki prawidłowe. Można jeszcze tylko wyłączyć przed nawias.:
\(\displaystyle{ P_{c}=144 \sqrt{15} + 144= 144(\sqrt{15}+1)}\)
Zostaje jeszcze obliczenie kąta. Tak jak mówił loitzl9006, wykorzystaj tw. cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ APC}\)(patrz rysunek)
kąt między sąsiednimi ścianami ostrosłup.png
Legenda:
\(\displaystyle{ AP=CP - \text{wysokości ścian bocznych padające na krawędź boczną} \\ AC - \text{przekątna podstawy}}\)
Pozdrawiam!
prystaszd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 12 sty 2013, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mchawa

Ostrosłup prawidłowy czworokątny. Oblicz objętość i pole pow

Post autor: prystaszd »

Dzięki a czy mógł by ktoś powiedzieć jak zacząć to drugie zadanie?
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3050
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 816 razy

Ostrosłup prawidłowy czworokątny. Oblicz objętość i pole pow

Post autor: loitzl9006 »

Rys do zad 2
ostrosłup.png
ostrosłup.png (6.02 KiB) Przejrzano 8558 razy
Przyprostokątne niebieskiego trójkąta mają długości \(\displaystyle{ \frac{b}{3}}\) i \(\displaystyle{ H}\).

\(\displaystyle{ \blue H = \frac{b}{3} \cdot \tg \beta}\)

Długość krawędzi podstawy policzysz ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, tyle że tą wysokość masz daną (\(\displaystyle{ b}\)) zaś masz obliczyć bok.

Przeciwprostokątną niebieskiego trójkąta policzysz np. z Pitagorasa, i to chyba wszystko jeżeli chodzi o policzenie objętości i pola pow. całkowitej.
ODPOWIEDZ