ostrosłup czworokątny

[bb314]

Spośród ostrosłupów czworokątnych wybrać taki ...

Takie sformułowanie oznacza zupełnie dowolny czworokąt w podstawie i spodek wysokości ostrosłupa w dowolnym miejscu, tzn. wewnątrz podstawy lub na zewnątrz.

Jeśli podstawa daje się wpisać w okrąg, to wyobraźmy sobie tę podstawę wrzuconą wewnątrz sfery. Podstawa opadnie i oprze się swoimi czterema rogami o sferę. Sfera w tej sytuacji może mieć dowolny promień. Możemy teraz wybrać dowolny punkt sfery jako wierzchołek ostrosłupa.

W ostrosłup możemy wpisać kulę tylko wtedy, gdy:
- w podstawę da się wpisać elipsę (o średnicach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ a>b}\)) i prosta przechodząca przez wierzchołek ostrosłupa i środek tej elipsy tworzy z dłuższą osią elipsy kąt \(\displaystyle{ \alpha=\arcsin\frac{b}{a}}\).

Szczególnym przypadkiem powyższej ogólnej zasady jest warunek:
- w podstawę da się wpisać okrąg i spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem tego okręgu.

Sumując: aby w ostrosłup wpisać kulę i opisać na nim sferę, podstawą może być dowolny czworokąt, w który da się wpisać elipsę i opisać okrąg. Tak na pierwszy rzut oka mogą to być dowolne prostokąty, lub szerzej - trapezy równoramienne (których prostokąty są szczególnym przypadkiem).

Jak w takiej sytuacji wyznaczać \(\displaystyle{ \frac{R}{r}}\), nie wiem.

[theoldwest]

Spośród ostrosłupów czworokątnych wybrać taki ...

Takie sformułowanie oznacza zupełnie dowolny czworokąt w podstawie i spodek wysokości ostrosłupa w dowolnym miejscu, tzn. wewnątrz podstawy lub na zewnątrz.

Nie wiem czy zrozumiałem - Czyli spodek wysokości ostrosłupa czworokątnego (w który da się wpisać kulę i na którym da się opisać kulę) może leżeć w dowolnym punkcie płaszczyzny podstawy? A wiesz może czy podstawą musi być trapez równoramienny (przyjmując, że prostokąty są trapezami)?

[bb314]

Nie wiem czy zrozumiałem - Czyli spodek wysokości ostrosłupa czworokątnego (w który da się wpisać kulę i na którym da się opisać kulę) może leżeć w dowolnym punkcie płaszczyzny podstawy?

Tak. Ostrosłup może być tak pochyły, że spodek wysokości wypada poza podstawą.

A wiesz może czy podstawą musi być trapez równoramienny (przyjmując, że prostokąty są trapezami)?

Podstawa musi dać się wpisać w okrąg i w podstawę musi dać się wpisać elipsę. To są warunki, żeby w ostrosłup wpisać kulę i opisać na nim sferę.
Podstawą więc może być dowolny trapez równoramienny (w tym prostokąt).
A czy musi być? Nie jestem pewna, ale chyba nie ma innych czworokątów spełniających ten warunek.

Ten warunek - „Podstawa musi dać się wpisać w okrąg i w podstawę musi dać się wpisać elipsę” - dotyczy ostrosłupów o dowolnym wielokącie w podstawie, nie tylko czworokącie.

------------
Jeśli przyjąć jako podstawę ostrosłupa kwadrat o boku \(\displaystyle{ a}\) i wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H}\),
to stosunek \(\displaystyle{ \frac{r}{R}}\) jest funkcją stosunku \(\displaystyle{ \frac{H}{a}}\)

\(\displaystyle{ R=\frac{H}{2}+\frac{a^2}{4H}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r=\frac{aH}{a+\sqrt{a^2+4H^2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{H}{a}=q\ \Rightarrow\ \frac{r}{R}=\frac{\sqrt{4q^2+1}-1}{2q^2+1}}\)

stosunek \(\displaystyle{ \frac{r}{R}}\) osiąga maksimum \(\displaystyle{ =\sqrt2-1 \approx 0,4142}\) gdy \(\displaystyle{ \frac{H}{a}=\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{2\sqrt2}} \approx 1,1}\)

-- 20 gru 2012, o 17:51 --

Jeśli przyjąć jako podstawę ostrosłupa kwadrat o boku \(\displaystyle{ a}\) i wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H}\),
to stosunek \(\displaystyle{ \frac{r}{R}}\) jest funkcją stosunku \(\displaystyle{ \frac{H}{a}}\)

\(\displaystyle{ R=\frac{H}{2}+\frac{a^2}{4H}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r=\frac{aH}{a+\sqrt{a^2+4H^2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{H}{a}=q\ \Rightarrow\ \frac{r}{R}=\frac{\sqrt{4q^2+1}-1}{2q^2+1}}\)

stosunek \(\displaystyle{ \frac{r}{R}}\) osiąga maksimum \(\displaystyle{ =\blue\sqrt2-1\black \approx 0,4142}\) gdy \(\displaystyle{ \blue\frac{H}{a}=\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{2\sqrt2}}\black \approx 1,1\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \blue R+r=H}\)

czyli środek sfery opisanej i środek kuli wpisanej w ostrosłup to ten sam punkt

-- 23 gru 2012, o 18:29 --

Jeżeli w ostrosłup jest wpisana kula, to ten ostrosłup można zastąpić stożkiem o tym samym wierzchołku i podstawie będącej elipsą wpisaną w podstawę ostrosłupa. Ten stożek będzie pochyły.
A jak znaleźć jego najdłuższą i najkrótszą tworzącą? Na poniższym obrazku:-- 23 gru 2012, o 19:24 ---- 23 gru 2012, o 18:29 --

[bb314]

Czyli w ostrosłup czworokątny można jednocześnie wpisać i opisać na nim kulę wtedy i tylko wtedy, gdy jest on prawidłowy?

Nie.
Jedynym warunkiem koniecznym jest --> suma przeciwległych kątów podstawy \(\displaystyle{ = 180^o}\).


Jeżeli w ostrosłup jest wpisana kula, to ten ostrosłup można zastąpić stożkiem o tym samym wierzchołku i podstawie będącej elipsą wpisaną w podstawę ostrosłupa. Ten stożek będzie pochyły.
A jak znaleźć jego najdłuższą i najkrótszą tworzącą oraz wysokość? To pokazuje poniższy obrazek: