Obliczanie długości krawędzi podstawy w graniastosłupie

[Przemcio11B]

Przekątne równej długości wychodzące z jednego z wierzchołków mają długość 2 i tworzą kąt 60°. Oblicz długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego.

[Sherlock]

Zakładam, że chodzi o przekątne podstawy. Co możesz powiedzieć o trójkącie ACE?

gransz.jpg (32.87 KiB) Przejrzano 1259 razy

[wujomaro]

Wydaje mi się, że chodzi o przekątne graniastosłupa, bo wszystkie przekątne podstawy o równej długości wychodzące z jednego wierzchołka tworzą kąt \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\).

Według mnie rysunek powinien wyglądać tak:



Trójkąt \(\displaystyle{ AIK}\) jest równoboczny, każdy z jego boków ma długość \(\displaystyle{ 2}\), a \(\displaystyle{ KI}\) to krótsza przekątna sześciokąta będącego podstawą bryły.

Pozdrawiam!

[Przemcio11B]

Zakładam, że chodzi o przekątne podstawy. Co możesz powiedzieć o trójkącie ACE?

gransz.jpg

Trójkąt ACE jest równoboczny. Przekątne wyznaczyłem tak samo, jak Ty.

Wydaje mi się, że chodzi o przekątne graniastosłupa, bo wszystkie przekątne podstawy o równej długości wychodzące z jednego wierzchołka tworzą kąt \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\).

Według mnie rysunek powinien wyglądać tak:



Trójkąt \(\displaystyle{ AIK}\) jest równoboczny, każdy z jego boków ma długość \(\displaystyle{ 2}\), a \(\displaystyle{ KI}\) to krótsza przekątna sześciokąta będącego podstawą bryły.

Pozdrawiam!

Nie do końca jestem pewien, czy aby na pewno tak powinno wyglądać. Polecenie też nic nie mówi.

Co trzeba jednak zrobić, żeby uzyskać poprawny wynik? Pomóżcie.

[anna_]

A jaki jest poprawny wynik?

[Przemcio11B]

Odpowiedzi niestety nie mam. Jednej z osób, które mi rozwiązywały, wyszło \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\). Wyliczyła sobie ze wzoru \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{2}}\), czyli wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym (gdzie a=2). Jaki to ma związek z krawędzią podstawy - nie wiem.

[anna_]

Sześciokąt w podstawie zbudowany jest z trójkątów równobocznych, o boku równym bokowi tego sześciokąta.
\(\displaystyle{ 2}\) to dwie wysokości takiego trójkąta

Wydaje mi się jednak, że chodzi o przekątne graniastosłupa.
Byłabym za rysunkiem, który wrzucił wujomaro.

[Przemcio11B]

Sześciokąt w podstawie zbudowany jest z trójkątów równobocznych, o boku równym bokowi tego sześciokąta.
\(\displaystyle{ 2}\) to dwie wysokości takiego trójkąta

Zauważam tę zależność na rysunku Sherlock'a, gorzej u wujomaro.

Liczba \(\displaystyle{ 2}\) będzie rozwiązaniem? Przydałyby się jakieś obliczenia, o ile można coś wykrzesać.

[anna_]

W wersji Sherlocka
\(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=2}\)
\(\displaystyle{ a \sqrt{3} =2}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{2}{ \sqrt{3} }}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{2 \sqrt{3} }{3}}\)-- dzisiaj, o 16:49 --Wersja wujomaro

Obliczanie długości krawędzi podstawy w graniastosłupie.png (14.45 KiB) Przejrzano 1148 razy

Trójkąt \(\displaystyle{ BD'F'}\) jest równoboczny. Jego bok to dwie wysokości trójkąta.
Czyli obliczenia identyczne jak poprzednio.

[Przemcio11B]

Największe zdziwienie wywołuje wielość wyników, jakie spotkałem. Najpierw \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) (od koleżanki), mi coś tam wyszło, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), potem \(\displaystyle{ 2}\) (znowu koleżanka policzyła). Wolę nie tłumaczyć, w jaki sposób do tego doszliśmy. Wierzę jednak, że

\(\displaystyle{ a= \frac{2 \sqrt{3} }{3}}\)

jest właściwym wynikiem.

[Sherlock]

Przekątnych graniastosłupa nie możemy wziąć pod uwagę bo skoro trójkąt \(\displaystyle{ BD'F'}\) jest równoboczny to \(\displaystyle{ BD'=F'D'=BD}\) i wtedy trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ BDD'}\) ma przeciwprostokątną o długości takiej jak jedna z przyprostokątnych...

PS Jeśli chodzi o przekątne podstawy to niepotrzebny jest w treści zadania kąt 60 stopni - w sześciokącie foremnym krótsze przekątne wychodzące z jednego wierzchołka zawsze tworzą taki właśnie kąt.

[anna_]

Fakt. Czyli zostają te przekątne podstawy. Tylko po co dali ten kąt?

[wujomaro]

W tym wypadku zadanko bardziej pasuje do planimetrii, a nie do stereometrii. Nie ma potrzeby mówić tutaj w ogóle o graniastosłupie.