W stożek wpisano walec - oblicz stosunek objętości

bohato · Post autor: **bohato** » 11 gru 2012, o 21:01

Witam.
W stożek wpisano walec. Oblicz stosunek objętości stożka do objętości walca, jeżeli:
a) promień podstawy stożka jest 3 razy większy od promienia podstawy walca

Mógłby ktoś rzucić okiem na obliczenia, gdyż odpowiedź to: 9:2

\(\displaystyle{ \frac{V stozka}{V walca}=\frac{\frac{1}{3}\Pi(3r)^2H}{\Pi r^2H}=9:3=3:1}\)

Gdzie tkwi błąd?

b) przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym, a przekrój osiowy walca jest kwadratem

Po naszkicowaniu rysunku jak mam zabrać się do liczenia? Wiem, że bok kwadratu \(\displaystyle{ a=2r}\), natomiast bok trójkąta to \(\displaystyle{ 2R}\), pytanie brzmi i co dalej?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 11 gru 2012, o 21:10

a) przecież nie mają jednakowych wysokości.

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 11 gru 2012, o 21:16

a) Wysokość stożka nie będzie wysokością walca.
b)

: stożek i kwadrat.png (13.62 KiB) Przejrzano 18996 razy

Popatrzmy uważnie na ten rysunek. Przede wszystkim trójkąt \(\displaystyle{ GFC}\) jest równoboczny. kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) ma miarę \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\), a odcinki \(\displaystyle{ CG \ \text{i} \ CF}\) muszą mieć tę samą długość. Teraz skorzystaj z funkcji trygonometrycznych, lub własności boków w trójkącie \(\displaystyle{ EBF}\) lub \(\displaystyle{ ADG}\). Wiedząc, że \(\displaystyle{ AB=2r=l}\) możesz obliczyć promień podstawy walca.

Pozdrawiam!

bohato · Post autor: **bohato** » 12 gru 2012, o 17:57

Dzięki za tak szybkie odpowiedzi.

Oczywiście w a) wysokości nie są takie same.

Więc wychodzi \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}\Pi (3r)^2 H}{\Pi r^2 h} = \frac{9r^2 H}{3 r^2 h} = \frac{9 r^2 H 3} {3 r^2 2 H} = \frac{9}{2}}\) czyli wynik się zgadza.

Czy w każdym przypadku zachodzi równość \(\displaystyle{ h = \frac{2}{3}H}\) ?

Jednak, co do b) nadal nie wiem jak należy to zrobić.

Próbuję z proporcji policzyć: \(\displaystyle{ \frac{r\sqrt{3}}{r} = \frac{2r}{R-r}}\) , ale też nie wychodzi.
Mógłby ktoś pomóc?

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 12 gru 2012, o 18:04

b)
\(\displaystyle{ |CF|+|FB|=l=2r \\ |CF|=|GF| \\ |FB|= \frac{|FE|}{\sqrt{3}} \cdot 2}\)
Pozdrawiam!

bohato · Post autor: **bohato** » 12 gru 2012, o 18:58

Z tego wyliczyłem, że \(\displaystyle{ |FB| = \frac{4r\sqrt{3}}{3}}\). Następnie po kilku przekształceniach zacząłem liczyć i oto, co z tego wyniknęło:

\(\displaystyle{ \frac{Vs}{Vw} = \frac{\frac{(2r\sqrt{3}+3r}{3})^2\frac{1}{3}\Pi H}{\Pi r^2 2r} = \frac{4 + 3 \Pi r}{\Pi 2r^2 9}}\), ale to nie jest poprawna odpowiedź.

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 12 gru 2012, o 19:21

Po prostu przyjeliśmy inne nazewnictwo.

Ciśnij z w własności boków w trójkącie \(\displaystyle{ 30 \ 60 \ 90}\) stopni.

Pozdrawiam!

bohato · Post autor: **bohato** » 12 gru 2012, o 19:39

Tam powyżej mała pomyłka, wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{4+3r+4r\sqrt{3}}{6r}}\), ale i tak odpowiedź do tego zadania to: \(\displaystyle{ \frac{15\sqrt{3}+26}{18}}\)

kmmc · Post autor: **kmmc** » 2 kwie 2016, o 22:14

Nie rozumiem tego

Może ktoś wyjaśnić, jak w ogóle ZACZĄĆ robienie cokolwiek z walcem w tym trójkącie równobocznym (mówię o podpunkcie b)?

Bo rozumiem trygonometrię w samym trójkącie, ale jak zacząć z walcem?

Jakie własności wykorzystac?