Stosunek objętości stożka do objętości kuli wpisanej w niego

[Peres]

Mam problem z zadaniem. Na forum jest ono rozwiązane ale nie rozumiem tego dlatego piszę tutaj :

2. Wykaż że stosunek objętości stożka do objętości kuli weń wpisanej jest równy stosunkowi pola powierzchni całkowitej stożka do pola powierzchni kuli.

Wynika, że trzeba udowodnić \(\displaystyle{ \frac{rH}{R} = r + l}\)(\(\displaystyle{ r}\)- promien podst stożka, \(\displaystyle{ H}\)- wys. stożka, \(\displaystyle{ l}\)- tworząca, \(\displaystyle{ R}\)- promien kuli).

Dochodzę do tego momentu i nie wiem co mam z tym dalej zrobić.

[wujomaro]

Ja bym to robił tak:
Najpierw ustalmy jaką długość ma promień tej kuli. Zrobimy to ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt, który jest przekrojem osiowym stożka.
\(\displaystyle{ R- \text{promień naszej kuli} \\ r- \text{promień podstawy} \\ H- \text{wysokość} \\ l- \text{tworząca} \\ R= \frac{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot H }{2r+l+l}= \frac{rH}{r+l}}\)
Potem zapiszemy równość zgodną z treścią zadania, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{3} \pi r^{2}H }{ \frac{4}{3} \pi \left( \frac{rH}{r+l} \right)^{3} } = \frac{\pi r \cdot \left( r+l\right) }{4 \pi \left( \frac{rH}{r+l} \right)^{2} }}\)
I działamy. Wszystko ładnie wychodzi.

Pozdrawiam!

[Peres]

A przy wyliczaniu promienia nie powinno być \(\displaystyle{ \frac{rH}{r+l+l}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{rH}{r+l}}\) ? Pozdrawiam

[wujomaro]

\(\displaystyle{ R= \frac{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot H }{2r+l+l}= \frac{2rH}{2r+2l}= \frac{2rH}{2(r+l)}= \frac{rH}{r+l}}\)
Pozdrawiam!

[Peres]

Teraz rozumiem, dzięki