Kąt bryłowy w prostopadłościanie

[rkaminski]

Witam,

Mam prostopadłościan i punkt leżący w jego centrum. Należy obliczyć wszystkie kąty bryłowe (będą 3 różne, każdy 2 razy) zaczepione w tym punkcie i ograniczone powierzchniami jego ścian. Jeśli to nie jest jakoś super jasne to np. dla sześcianu mam 6 identycznych kątów bryłowych, każdy równy:

\(\displaystyle{ \Omega = \frac{2\pi}{3}}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

Radek

[kropka+]

Moim zdaniem kąty bryłowe będą proporcjonalne do powierzchni ścian prostopadłościanu.
Czyli:

Powierzchnia kuli opisanej na prostopadłościanie: \(\displaystyle{ S=4 \pi R ^{2}}\)

Promień tej kuli to połowa długości przekątnej, czyli:

\(\displaystyle{ R= { \frac{ \sqrt{ a ^{2}+b ^{2}+c ^{2} } }{2}}\)

Proporcja między powierzchnią prostopadłościanu a powierzcnią kuli to: \(\displaystyle{ \frac{2ab+2ac+2bc}{4 \pi \cdot \frac{a ^{2}+b ^{2}+c ^{2} }{4} }= \frac{2ab+2ac+2bc}{ \pi (a ^{2}+b ^{2}+c ^{2} ) }}\)

I teraz dzielisz powierzchnię ściany przez tę proporcję i masz powierzchnię fragmentu kuli wyciętego przez daną ścianę, np. dla ściany o wymiarach \(\displaystyle{ a \times b}\) masz powierzchnię fragmentu kuli:

\(\displaystyle{ S _{ab}= \frac{ab \pi (a ^{2}+b ^{2}+c ^{2}) }{2ab+2ac+2bc}}\)

Stąd: \(\displaystyle{ \Omega _{ab}= \frac{S _{ab} }{R ^{2} }= \frac{ab \pi (a ^{2}+b ^{2}+c ^{2}) \cdot 4 }{(2ab+2ac+2bc)(a ^{2}+b ^{2}+c ^{2} ) }= \frac{2ab \pi }{ab+ac+bc}}\)

Tak samo dla pozostałych dwóch ścian. Każdy z trzech kątów występuje dwa razy. W sumie dają pełny kąt bryłowy czyli \(\displaystyle{ 4 \pi}\)


Głowy za to nie daję, bo nigdy nie miałam nic wspólnego z kątami bryłowymi, więc może ktoś to jeszcze skomentuje.

[rkaminski]

Hmm, czy stwierdzenie

Moim zdaniem kąty bryłowe będą proporcjonalne do powierzchni ścian prostopadłościanu.

jest takie oczywiste?

[kinia7]

Moim zdaniem kąty bryłowe będą proporcjonalne do powierzchni ścian prostopadłościanu.
Czyli:

\(\displaystyle{ \Omega _{ab}= .\ .\ .\ = \frac{2ab \pi }{ab+ac+bc}}\)

Głowy za to nie daję, bo nigdy nie miałam nic wspólnego z kątami bryłowymi, więc może ktoś to jeszcze skomentuje.

Ja skomentuję - dobrze, że nie dałaś głowy
Twój wzór sprawdza się tylko dla \(\displaystyle{ a=b=c}\)

\(\displaystyle{ 2R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

\(\displaystyle{ \Omega _{ab}=2\left(\arccos\frac{\cos(2\arcsin\frac{a}{2R}) - \cos(2\arcsin\frac{b}{2R}) \cos(2\arcsin\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2R})}{\sin(2\arcsin\frac{b}{2R}) \sin(2\arcsin\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2R})} +}\)
\(\displaystyle{ .\quad\quad\quad+\arccos\frac{\cos(2\arcsin\frac{b}{2R}) - \cos(2\arcsin\frac{a}{2R}) \cos(2\arcsin\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2R})}{\sin(2\arcsin\frac{a}{2R}) \sin(2\arcsin\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2R})}+}\)
\(\displaystyle{ .\quad\quad\quad+\arccos\frac{\cos(2\arcsin\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2R}) - \cos(2\arcsin\frac{a}{2R}) \cos(2\arcsin\frac{b}{2R})}{\sin(2\arcsin\frac{a}{2R}) \sin(2\arcsin\frac{b}{2R})} - \pi)}\)

-- 28 lut 2016, o 16:56 --

\(\displaystyle{ \Omega _{ab}=2\left(\arccos\frac{bc}{\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}} +\arccos\frac{ac}{\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}+\arccos\frac{-ab}{\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}} - \pi\right)}\)

-- 29 lut 2016, o 16:40 --

\(\displaystyle{ \Omega _{ab}= \frac{S _{ab} }{R ^{2} }= \frac{ab \pi (a ^{2}+b ^{2}+c ^{2}) \cdot 4 }{(2ab+2ac+2bc)(a ^{2}+b ^{2}+c ^{2} ) }= \frac{2ab \pi }{ab+ac+bc}}\)

czyli \(\displaystyle{ S_{ab}=\frac{2ab \pi R^2}{ab+ac+bc}}\)

przyjmę \(\displaystyle{ a=b=1\quad\quad c=100\quad\to\quad R \approx 50}\)
\(\displaystyle{ S_{ab}=\frac{2\cdot1\cdot1\cdot \pi \cdot50^2}{1\cdot1+1\cdot100+1\cdot100} \approx}\)-- 29 lut 2016, o 16:51 --\(\displaystyle{ S_{ab} \approx 78}\)
a przecież powierzchnia sfery odpowiadająca ścianie o powierzchni \(\displaystyle{ a\cdot b=1}\)
jest tylko ociupinę większa od 1

powyższe jednoznacznie obala rozwiązanie \(\displaystyle{ \blue krokpa+}\)