Objętość stożka ściętego z elipsą

[nieszkag]

Witam,

Niestety nie wiem, czy taka figura ma swoją nazwę, stąd nie mogę znaleźć żadnych do niej wzorów.

Potrzebuję obliczyć objętość figury powstałej na bazie stożka ściętego, gdzie tworząca tego stożka jest wycinkiem (1/4tą) elipsy tak, że wysokość stożka to półoś wielka elipsy, a oś mała jest różnicą między średnica podstawy a średnicą płaszczyzny odcięcia stożka.

Jeżeli wyrażam się niejasno to wrzucę rysunek (przekrój).

Mogę to naturalnie policzyć metodą kolejnych przybliżej to iluśtam zwykłych stożków ściętych ale liczę, że jest na to jakaś prostsza i szybsza metoda.


Dzięki i pozdrawiam.

[Gadziu]

Rysunek by się przydał, bo jak mi to ciężko wyobrazić

[777Lolek]

może o to chodzi?
312496.htm#p5002566

[nieszkag]

Wartości przykładowe, Di i De to średnice podstawy i płaszczyzny odcięcia, L to półoś wielka elipsy tworzącej.

[Sherlock]

Chodzi o taką bryłę?

elipsa360.jpg (17.99 KiB) Przejrzano 1707 razy

\(\displaystyle{ Di}\) to \(\displaystyle{ De}\) plus oś mała elipsy?
Próbowałaś może całkami?

[nieszkag]

Tak, to jest taka bryła.

\(\displaystyle{ Di}\) to \(\displaystyle{ De}\) plus oś mała elipsy?

Tak.

Niestety całki to sporo poza moim zakresem specjalności; to znaczy jak mi ktoś poda sposób to sobie poradzę ale sama z siebie niczego mądrego na ich podstawie nie wymyślę

[Sherlock]

Nie jestem biegły w całkach, ale myślę, że można to w ten sposób rozwiązać:
Równanie elipsy:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1}\)
gdzie \(\displaystyle{ a}\) to półoś wielka, \(\displaystyle{ b}\) to półoś mała (w przykładzie \(\displaystyle{ a=3}\), \(\displaystyle{ b=2}\)).
Wyznaczmy \(\displaystyle{ y}\):
\(\displaystyle{ y= \frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2}}\)
Teraz "obniżymy" wykres o wartość \(\displaystyle{ z}\) tj.:
\(\displaystyle{ z=b+ \frac{De}{2}}\) (w przykładzie \(\displaystyle{ z=3}\))
czyli:
\(\displaystyle{ y= \frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2}-z}\)
Teraz korzystamy ze wzoru na objętość bryły powstałej przez obrót fragmentu funkcji wokół osi OX:
\(\displaystyle{ V=\pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx}\)
(symbol a i b przy całce oznaczonej nie są tożsame z półosiami )
W przykładzie bryła ograniczona jest przez proste \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ x=3}\).

elipsa360b.jpg (49.61 KiB) Przejrzano 1658 razy

[nieszkag]

To chyba ma sens, dzięki.

Postaram się to ogarnąć dla wartości rzeczywistych, jak potem empirycznie wyjdzie inaczej to zgłoszę się z reklamacją

[Sherlock]

Teraz korzystamy ze wzoru na objętość bryły powstałej przez obrót fragmentu funkcji wokół osi OX:
\(\displaystyle{ V=\pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx}\)

Zakładam, że bryłę ograniczają dwie proste: \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ x=a}\) wtedy (część obliczeń na końcu pomijam):
\(\displaystyle{ \int_{0}^{a} (\frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2}-z)^2 dx =\int_{0}^{a} (b^2- \frac{b^2x^2}{a^2}- \frac{2zb}{a} \sqrt{a^2-x^2}+z^2 ) dx = (b^2x- \frac{b^2}{3a^2}x^3- \frac{2zb}{a}( \frac{x}{a} \sqrt{a^2-x^2}+ \frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a})+z^2x) \Big|_0^a= ... = \frac{2ab^2}{3}- \frac{abz\pi}{2} +az^2}\)
W końcu nasz wzór na objętość przyjmuje całkiem zgrabną postać
\(\displaystyle{ V=\pi(\frac{2ab^2}{3}- \frac{abz\pi}{2} +az^2)}\)

elipsa360c.jpg (20.02 KiB) Przejrzano 1618 razy