Na jakiej podstawie te wzory działają?

[xXartik10Xx]

Chodzi mi tutaj o wzór wymyślony przez kolegę, który narazie próbowałem odkryć na podstawie stożka, mianowicie:

Normalnie objętość stożka to V= \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)\(\displaystyle{ \pi}\)\(\displaystyle{ r^{2}}\)H
Wzór wymyślony i działający na przykładzie stożka np (r=3, H=4, l=5) r- promien podstawy, l-tworzaca stożka i trójkąt z którego tworzona jest bryła obrotowa to trójkąt prostokątny : V= \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)*2\(\displaystyle{ \pi}\)r*\(\displaystyle{ \frac{r*H}{2}}\) ... Dlaczego wzór ten jest skuteczny? Nie wiem jak dla innych stożków, ale podobno dla każdego trójkąta, z którego stożek jest tworzony.

I dla stożka z trójkąta 3,4,5 wyszedł mi wzór
2\(\displaystyle{ \pi}\)r*\(\displaystyle{ \frac{r*H}{2}}\)-2\(\displaystyle{ \pi}\)r*H (wynik wychodzi taki sam jakbyśmy liczyli normalnie, ale logicznie myśląc... w pierwszej częsci wychodzi objętość i 2\(\displaystyle{ \pi}\)r wysokości, bo z każdym dodaniem pola trójkąta dodaje nam się wysokość, więc jest ich o 2\(\displaystyle{ \pi}\)r zbyt wiele. Odejmując te wysokości wynik wychodzi dobry, ale wydaje mi się że ten stożek nie powinien mieć wtedy wcale tej wysokości(pusta przestrzeń w środku, więc objętość powinna być mniejsza). Mylę się?

[anna_]

To: \(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}\pi r^{2}H}\)
i to:
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot 2\pi r \cdot \frac{r \cdot H}{2}}\)

to dokładnie to samo.

I dla stożka z trójkąta 3,4,5 wyszedł mi wzór
\(\displaystyle{ 2\pi r \cdot \frac{r \cdot H}{2}-2\pi r \cdot H}\)

A to nie jest wzór na objętość (od jednostek sześciennych odejmujesz kwadratowe i co wychodzi?)

[xXartik10Xx]

Chodzi o to, że jeśli mamy przestrzeń, 3 wymiary, to żeby się jej pozbyć możemy odejmować po kolei(Chociaż bedzie tego całkiem sporo) odcinki, przykładowo sześcian jest trójwymiarowy i ma krawedz "a", ale żeby się go pozbyć możemy odejmować odcinki mające długość "a" tylko że było by ich sporo.

[anna_]

Nic z tego nie rozumiem

Od jednostek sześciennych nie można odejmować jednostek kwadratowych.
To tak jakbyś od objętości odejmował pole.

[i1arturp]

Całkowicie zgadzam się z przedmówcą - nie można dokonywać operacji dodaj/odejmij na dwóch różnych wymiarach!
Jednakże wydaje mi się że wiem o co chodzi pytającemu, gdyż kiedyś też chciałem przeprowadzić dowód - skąd się bierze 1/3 we wzorze, i dokonywałem podobnych kombinacji. Poniekąd już Archimedes (III w. p.n.e.) przeprowadził dowód na owy współczynnik przez który przemnażamy objętość walca (co podobnie działa jeśli chodzi o graniastosłupy - gdzie stożek jest skrajnym przypadkiem graniastosłupa prawidłowego o podstawie mającej nieskończoną ilość boków).
Otóż to co zapewne określiłeś za modelowy przykład twojej myślowej koncepcji wiążącej wymiar objętości z wymiarem płaszczyzny: "(redukcja D3 do D2, na przykładzie przejścia z sześcianu do kwadratu) ...możemy odejmować odcinki mające długość "a" tylko że było by ich sporo.", nazywamy RÓŻNICZKOWANIEM. Operacja odwrotna, związana z przejściem ze zredukowanego wymiaru na wyższy (oczywiście trzeba sprecyzować warunki) jak obliczenie objętości z płaszczyzny, to całkowanie (przypuszczalnie w twej logice byłoby to coś jak: dodanie owej nieskończonej ilości odcinków krawędzi - tworzącej sześcian). Owe operacje wymykają się z logiki klasycznej arytmetyki, dlatego właściwe rozumowanie owych operacji jest wymagane dopiero na niektórych kierunkach studiów. Jednakże się nie zniechęcaj do rzetelnego poznania owej problematyki (przykładowo Różniczki to Newtonowskie obliczenie chwilowej prędkości dla ruchu jednostajnie przyśpieszonego, czy analiza funkcji).
Różniczka z x^3 wynosi 3x^2 ,
natomiast operacja odwrotna (symetryczna do myślowego algorytmu różniczki) to :
Całka z x^2 wynosi 1/3 * x^3
czyli sumaryczne równania operacji: (1/3 * x^3) /dx = x^2 lub \int_{}^{} x^2 *dx = 1/3 * x^3

W przypadku stożka możemy dodać nieskończenie wiele kół, począwszy o promieniu w podstawie a skończywszy na zerowym przy wierzchołku. W takim wypadku tworzymy funkcję uzależniającą promień danego koła od części wysokości w której występuje (r = R * h/H) i całkujemy względem wysokości (dodajemy przekroje stożka, czyli nieskończoną ilość nieskończenie cienkich kół) od podstawy (największy promień, a część wysokości zerowa) do wierzchołka (promień zerowy przekroju a część wysokości jest całkowita).
Innym sposobem uzyskania wzoru na stożek jest całkowanie 'bryły obrotowej' w 'walcowym układzie współrzędnych'. To znaczy odpowiednio obracamy trójkąt prostokątny, ale zrozumienie tej formy całek jest nieco trudniejsze.