Wyznaczyć pole ostrosłupa

[piasek101]

Oczywiście, że mogliśmy wszyscy (oprócz Ciebie) dać ciała. Pokaż jak robiłaś.

[anna_]

O żesz, zdaje się, że jednak daliśmy ciała.
Trójkąt z przekroju nie jest równoramienny, bo postawą był prostokąt, a nie kwadrat.
\(\displaystyle{ OE}\) nie będzie jego wysokością tylko środkową.

[bb314]

Wierzchołek trójkąta przekroju jest środkiem krawędzi bocznej. Podstawą trójkąta jest przekątna podstawy ostrosłupa.
W takim razie, jeśli wysokość zmniejszymy do zera, to pole tego trójkąta musi być cztery razy mniejsza od pola podstawy ostrosłupa. Tylko mój wzór to zapewnia.

[denatlu]

W takim razie, jeśli wysokość zmniejszymy do zera

wysokość czego i którą wysokość?

[piasek101]

Jak przekrój opadnie na podstawę.

,,Nasza" wysokość (już o tym było) to środkowa trójkąta.

[bb314]

wysokość czego i którą wysokość?

Wysokość występującą w końcowym wzorze, czyli wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H}\).

[bb314]

Skorzystam z oznaczeń na rysunku wujomaro.

\(\displaystyle{ AB=\blue a\black\ \ \ \ \ BC=\blue b\black\ \ \ \ \ AC=\blue p\black \ \to\ \blue p^2=a^2+b^2\black\ \ \ \ \ AE=\blue m\black\ \ \ \ \ CE=\blue n}\)

\(\displaystyle{ AS=BS=CS=DS=\blue k\black\ \ \ \ \ OS=\blue H\ \ \green \Rightarrow \blue\ \ k^2=\frac{4H^2+a^2+b^2}{4}}\)

w \(\displaystyle{ \Delta ABS}\) środkowa \(\displaystyle{ m=\frac12 \sqrt{2a^2+2k^2-k^2}=\frac12 \sqrt{2a^2+k^2}\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \blue m^2=\frac{4H^2+9a^2+b^2}{16}}\)

w \(\displaystyle{ \Delta BCS}\) środkowa \(\displaystyle{ n=\frac12 \sqrt{2b^2+2k^2-k^2}=\frac12 \sqrt{2b^2+k^2}\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \blue n^2=\frac{4H^2+a^2+9b^2}{16}}\)

\(\displaystyle{ \Delta ACE}\) ma boki \(\displaystyle{ p,\ m,\ n}\)

ze wzoru Herona pole tego trójkąta
\(\displaystyle{ P=\frac14\sqrt{(p+m+n)(p+m-n)(p-m+n)(-p+m+n)}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac14\sqrt{[(p+m)^2-n^2][-(p-m)^2+n^2]}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac14\sqrt{(p^2+2pm+m^2-n^2)(-p^2+2pm-m^2+n^2)}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac14\sqrt{2p^2m^2+2p^2n^2+2m^2n^2-p^4-m^4-n^4}}\)

po podstawieniu \(\displaystyle{ m^2,\ n^2,\ p^2}\) i uporządkowaniu

\(\displaystyle{ \red P_{ACE}=\frac14\sqrt{H^2(a^2+b^2)+a^2b^2}}\)

[anna_]

pole przekroju ostrosłupa.png (15.81 KiB) Przejrzano 4574 razy

\(\displaystyle{ EK}\) - wysokość przekroju
\(\displaystyle{ EC}\) - wysokość trójkąta \(\displaystyle{ DBC}\)
\(\displaystyle{ |KF|= \frac{1}{2} H}\)


Pole podstawy \(\displaystyle{ P_p=ab}\)
Pole trójkąta \(\displaystyle{ DBC}\) - \(\displaystyle{ P_{\Delta ABC}= \frac{1}{2}P_p= \frac{ab}{2}}\)
Pole trójkąta \(\displaystyle{ DBC}\) - \(\displaystyle{ P_{\Delta ABC}= \frac{|BD| \cdot |EC|}{2}= \frac{ \sqrt{a^2+b^2} \cdot |EC| }{2}}\)

Obliczam \(\displaystyle{ |EC|}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{a^2+b^2} \cdot |EC| }{2} =\frac{ab}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2} \cdot |EC| =ab}\)
\(\displaystyle{ |EC|= \frac{ab}{ \sqrt{a^2+b^2} }}\)

Obliczam \(\displaystyle{ |EF|}\)
\(\displaystyle{ |EF|= \frac{1}{2}|EC|}\)
\(\displaystyle{ |EF|= \frac{1}{2} \cdot \frac{ab}{ \sqrt{a^2+b^2} }}\)
\(\displaystyle{ |EF|= \frac{ab}{ 2\sqrt{a^2+b^2} }}\)

Obliczam \(\displaystyle{ |EK|}\)
\(\displaystyle{ |EK|^2=|FK|^2+|EF|^2}\)
\(\displaystyle{ |EK|^2= \left(\frac{1}{2} H \right) ^2+ \left( \frac{ab}{ 2\sqrt{a^2+b^2} }\right) ^2}\)
\(\displaystyle{ |EK|^2= \frac{1}{4} H^2+ \frac{a^2b^2}{ 4(a^2+b^2)}}\)
\(\displaystyle{ |EK|^2= \frac{H^2(a^2+b^2)+a^2b^2}{ 4(a^2+b^2)}}\)
\(\displaystyle{ |EK|= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{H^2(a^2+b^2)+a^2b^2}{ (a^2+b^2)}}}\)

Obliczm pole przekroju
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} |DB| \cdot |EK|}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \sqrt{a^2+b^2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{H^2(a^2+b^2)+a^2b^2}{ (a^2+b^2)}}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2) \cdot \left[\frac{H^2(a^2+b^2)+a^2b^2}{ (a^2+b^2)} \right] }}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{4} \sqrt{H^2(a^2+b^2)+a^2b^2}}\)

[bb314]

\(\displaystyle{ EK}\) - wysokość przekroju
\(\displaystyle{ EC}\) - wysokość trójkąta \(\displaystyle{ DBC}\)
\(\displaystyle{ |KF|= \frac{1}{2} H}\)

\(\displaystyle{ |KF|= \frac{1}{2} H}\) ???

moim zdaniem
\(\displaystyle{ \blue |KF|> \frac{1}{2} H}\)

\(\displaystyle{ |EF|=\frac12|EC|}\)

\(\displaystyle{ OK=CK\ \ \ \ \ EK<OK\ \ \ \to\ \ \ EK<CK\ \ \ \to\ \ \ EF<FC\ \ \ \to\ \ \ \blue EF<\frac12\cdot EC}\)


ale mimo tego, o dziwo, końcowy wynik wyszedł poprawny

prawdopodobnie dlatego, że źle został sporządzony rysunek
w rzeczywistości (z wyjątkiem przypadku, gdy a=b) spodek wysokości \(\displaystyle{ \Delta DBK}\) nie pokrywa się ze spodkiem wysokości \(\displaystyle{ \Delta DBC}\) (na rys. pkt. E)
\(\displaystyle{ EK=OK=CK=\frac12\cdot CS}\)


rysunek powinien wyglądać na podobę tego:

[Obrazek wygasł]

spodek wysokości \(\displaystyle{ \Delta DBK}\) to punkt \(\displaystyle{ M}\)
\(\displaystyle{ KN=\frac12\cdot H\ \ \ \ \ MN=\frac12\cdot EC}\)

[anna_]

Faktycznie, rysunek jest do bani.

[kinia7]

ale mimo tego, o dziwo, końcowy wynik wyszedł poprawny

prawdopodobnie dlatego, że źle został sporządzony rysunek
w rzeczywistości (z wyjątkiem przypadku, gdy a=b) spodek wysokości \(\displaystyle{ \Delta DBK}\) nie pokrywa się ze spodkiem wysokości \(\displaystyle{ \Delta DBC}\) (na rys. pkt. E)
\(\displaystyle{ EK=OK=CK=\frac12\cdot CS}\)


rysunek powinien wyglądać na podobę tego:

Gdzie zniknął ten rysunek? Jak on powinien wyglądać?

[kinia7]

Nikt nie pomoże?

[kinia7]

Nikt nie pomoże?

[kerajs]

Obie zamieszczone w wątku grafiki ostrosłupa są poprawne. Płaszczyzna przekroju przechodzi przez środek krawędzi bocznej. Clou tego zadania to fakt, iż otrzymany trójkątny przekrój nie jest trójkątem równoramiennym, a odległość między środkiem krawędzi bocznej a spodkiem wysokości ostrosłupa nie jest wysokością przekroju.

[kinia7]

Obie zamieszczone w wątku grafiki ostrosłupa są poprawne.

No chyba jednak nie, gdyż o swoim rysunku

Faktycznie, rysunek jest do bani.

Więc chciałabym zobaczyć poprawny rysunek, który "wygasł"