Prosta na rzucie ściętej i obróconej tuby - level hardcore

[AdamSky_]

Witam,

Więc może najlepiej zacznę od początku, tuba o średnicy wewnętrznej =14 i zewnętrznej =20 została ścięta przez okrąg o średnicy 100. Okrąg ten powstał na płaszczyźnie rzutu bocznego tuby i posiada dwie styczne z tym rzutem tuby: lewy, dolny narożnik tuby i punkt przecięcia górnej krawędzi tuby z prostą poprowadzoną z tego narożnika pod kątem 32 stopni. Geometrię tę obrazuje rysunek 1. Przyjmijmy też lewy, dolny narożnik tuby w bocznym rzucie za początek układu XOY.

Rys. 1
Z podanych danych można obliczyć położenie punktu A (10,42509525; 3). Ten punkt będzie kluczowy w dalszej części.

Następnie tuba ta została obrócona wokół swojej wewnętrznej osi o 30 stopni. Obrót ten przemieścił też wcześniej ustalony pukt A w rzucie bocznym, mimo to nadal stosunkowo łatwo jest obliczyć to przesunięcie. i teraz punt A ma współrzędne: (10,42509525; 3,93782217). Poniższy rysunek powinien rozjaśnić nieco moje zagmatwane tłumaczenie:

Rys. 2
...i teraz, na płaszczyźnie rzutu bocznego tej tuby (nie w przestrzeni 3D), po zadanym obrocie została wyznaczona prosta z punktu A, pod kątem 43 stopni do poziomych krawędzi tuby. Długość tej prostej (rys. 2 - kolor czerwony: X) ogranicza zewnętrzna krawędź tuby. Pytaniem jest jak obliczyć długość tej prostej lub współrzędne punktu B, czyli punkt przecięcia tej prostej z zewnętrzną krawędzią tuby na płaszczyźnie powyższego rzutu?

Z modelu 3D w programie np. SolidWorks mogę wciągnąć długość tej prostej i dla tych wymiarów X=15,72679299 a współrzędne B: (21,92694352; 14,6634692). Niestety potrzebna mi jest metoda matematyczna wykonania tych obliczeń.
Jakoś musi się to dać obliczyć bo np. taki SolidWorks, wykorzystując wszystkie podane tutaj wymiary jako zmienne jest w stanie dynamicznie obliczać długość AB, czyli musi istnieć matematyczny opis tego działania.

Załączam też oba powyższe rysunki w formacie pdf, jakby ktoś miał ochotę się z tym poszarpać a powyższe jpg'i nie byłyby wystarczająco wyraźne.
[url=https://www.box.com/s/cfzcy0o6buvce16mwrsx]Rysunek_1.PDF[/url]
[url=https://www.box.com/s/w9f5wnysryhcsyx6c76a]Rysunek_2.PDF[/url]

[bb314]

Dane:
\(\displaystyle{ \blue\alpha\ \ \ \ -}\) kąt występujący przy ścięciu tuby (na rys. \(\displaystyle{ 32^o}\))
\(\displaystyle{ \blue\beta\ \ \ \ -}\) kąt obrotu tuby wokół własnej osi (na rys. \(\displaystyle{ 30^o}\))
\(\displaystyle{ \blue\gamma\ \ \ \ -}\) kąt prostej przez punkt \(\displaystyle{ A}\) po obrocie tuby
\(\displaystyle{ \blue R\ \ \ -}\) promień okręgu „tnącego”
\(\displaystyle{ \blue r\ \ \ \ -}\) promień zewnętrzny tuby
\(\displaystyle{ \blue g\ \ \ \ -}\) grubość ścianki tuby

współrzędne środka okręgu tnącego
\(\displaystyle{ \blue x_o=\black\frac{r}{tg\alpha}-\sqrt{\frac{R^2tg^2\alpha}{1+tg^2\alpha}-r^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \blue y_o=\black r+\sqrt{\frac{R^2}{1+tg^2\alpha}-\frac{r^2}{tg^2\alpha}}}\)

\(\displaystyle{ \blue x_a=\black x_o+\sqrt{R^2-\left( y_o-g\right)^2}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}y= x\cdot tg\gamma +r-(r-g)\cos\beta-tg\gamma\left( x_o+\sqrt{R^2-(y_o-g)^2}\right)\\\,
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z \ tego\ ukladu\ trzeba
\\ y=r(1-\cos\beta)+y_o\cos\beta -\cos\beta\sqrt{R^2-(x-x_o)^2}+\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to\ \ wyliczyc\ \ \blue x=x_b\\+\sin\beta\sqrt{\left(2r-y_o+\sqrt{R^2-(x-x_o)^2}\right)\left( y_o-\sqrt{R^2-(x-x_o)^2}\right)} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \red x=|AB|\black=\frac{x_b-x_a}{\cos\gamma}}\)

Rozwiązanie sprawdziłam w linku:

[AdamSky_]

Hej bb314, miło Cię widzieć i na tym forum. Jak zwykle pełna pomysłów, wiadomości i pomocna Nie dam rady wszystkiego przeanalizować w tym momencie ale tak na szybko \(\displaystyle{ \blue x_o}\), \(\displaystyle{ \blue y_o}\) i \(\displaystyle{ \blue x_a}\) wyliczają się bezbłędnie. Reszta pewnie też będzie śmigać bez zarzutu, wieczorem się zagłębie w drugą część. DZIĘKI za fajny prezent mikołajkowy

[bb314]

Co z tym śmiganiem? Czy to rozwiązanie Cię satysfakcjonuje?

[AdamSky_]

Samo rozwiązanie jest jak najbardziej dobre, dziękuję raz jeszcze bb314. Niestety nie da się go jednak zastosować w moim konkretnym przypadku. Układ równań nieliniowych odpada z powodu braku możliwości jego zaimplementowania do kodu wykorzystywanego w maszynie CNC. Układ równań liniowych jeszcze można zrealizować wykorzystując macierze ale to szczyt możliwości, które mam do wykorzystania. To coś jakby mieć do dyspozycji tylko arkusz Excel'a do wykonywania tych obliczeń.