Przekątna prostopadłościanu (trygenometria)

[Majec]

Przekątna prostopadłoscianu tworzy z jego krawędziami kąty \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma}\). Oblicz \(\displaystyle{ sin ^2 + sin^2 \beta + sin^2\gamma}\)

Zadanie z próbnej matury :/ Nie mam pojecia jak zaczac. Prosze o pomoc.Nie wiem czy ten temat bardziej nie pasuje pod trygonometrie,ale jedno z drugim sie laczy.

[wb]

d - przekątna prostopadłościanu
α - kat między d oraz a,
β - kąt między b oraz b,
γ - kąt między d oraz c,
gdzie a, b, c - krawedzie prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka.

Z tw. Pitagorasa i z def. funkcji trygonometrycznych:
\(\displaystyle{ sin^2\alpha=\frac{b^2+c^2}{d^2} \\ sin^2\beta=\frac{a^2+c^2}{d^2} \\ sin^2\gamma =\frac{a^2+b^2}{d^2} \\ sin^2\alpha+sin^2\beta+sin^2\gamma=\frac{2a^2+2b^2+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=2}\)

[Majec]

Dzieki za pomoc jednak nie moge nadal zrozumiec skąd \(\displaystyle{ sin^2\alpha = \frac{b^2+c^2}{d^2}}\) Próbowałem jakies plaszczyzny rysowac itd. jednak sam do tego nie dojde. Mógłby pan przyblizyc na podstawie jakiej definicji wychodzi taka równość ??

[wb]

Najpierw wyznaczyłem z tw.Pitagorasa długość przekątnej ściany bocznej o wymiarach b, c:
\(\displaystyle{ \sqrt{b^2+c^2}}\).

Nastepnie zastosowałem definicję sinusa w trójkącie prostokątnym gdzie:
d jest przeciwprostokątną, a przyprostokątną oraz powyżej policzona przekątna ściany bocznej jest drugą przyprostokątną. Wówczas:
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{d} \\ sin^2\alpha=\frac{b^2+c^2}{d^2}}\)

Pozostałe funkcje analogicznie ale dla innych ścian.