Graniastosłup prosty.

[1608]

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i podstawie długości \(\displaystyle{ 2 \sqrt{5}}\). Kąt między przekątną ściany bocznej zawierającej podstawę tego trójkąta a sąsiednią ścianą boczne jest rówy 45 stopni. Oblicz wysokość tego graniastosłupa.

Licze to tak:
Dane:
\(\displaystyle{ a=5}\)
\(\displaystyle{ b=2\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ \alpha =45^\circ}\)

Szukam H

z tw. Pitagorasa dla dwóch ścian bocznych
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} b ^{2}+H^{2}=d^2 \\a ^{2}+H^{2}=d _{1} ^2 \end{array}
\implies\left\{\begin{array}{l}20+H^{2}=d^2 \\25+H^{2}=d _{1} ^2 \end{array}
\implies d^2+d_{1}^2 = 45 + 2H^2}\)

Stosuje twierdzenie cosinusów dla przekroju.
\(\displaystyle{ a^2=d^2+d_{1}^2-2d_{1}d\cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ 25=45+2H^2-\sqrt{2}d_{1}d}\)

Nie wiem co dalej. Bardzo proszę o jakieś wskazówki.

[Sherlock]

Dobrze zaznaczyłeś kąt? Łatwiej go zauważymy, gdy graniastosłup przewrócimy na bok

grtr.jpg (42.07 KiB) Przejrzano 11896 razy

Co możesz powiedzieć o trójkącie ACD? Czym jest odcinek AC?

[1608]

AC to wysokość ściany bocznej. A trójkąt ACD jest prostokątny.

Korzystam z twierdzenia Pitagoras i wyliczam wysokość padającą na podstawę trójkąta w podstawie.
\(\displaystyle{ h_{p}=2 \sqrt{5}}\)
Korzystając z podobieństwa trójkątów (cechą kąt-kąt-kąt) wyliczam wysokośc która pada na ramie trójkąta:
\(\displaystyle{ h=4}\)
Korzystając z funkcji sinus w przekroju wyliczam przekątną ściany bocznej:
\(\displaystyle{ x=4 \sqrt{2}}\)
Wykorzystuje twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta ABD i wyliczam wysokość:
\(\displaystyle{ H=2 \sqrt{3}}\)
Może się komuś przyda.

Wszystko ładnie wyszło. Dziękuje bardzo !