pole powierzchni bocznej graniastosłupa

[Anula6006]

w podstawę graniastosłupa prawidłowego sześiokatnego wpisano koło o promieniu 6cm. Oblicz pole powierchni bocznej tego graniastosłupa, jezeli jgo wysokość jest równa 5,5cm.

[ariadna]

h- wysokość jednego z sześciu trojkącików, na które dzielimy pdstawę:
\(\displaystyle{ h=r}\)
\(\displaystyle{ h=6}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a\sqrt{3}=6}\)
\(\displaystyle{ a=4\sqrt{3}}\)
Pole powierzchni bocznej:
\(\displaystyle{ 6aH=6\cdot{4\sqrt{3}}\cdot{5,5}=132\sqrt{3}}\)

[rtuszyns]

\(\displaystyle{ r=6}\)
\(\displaystyle{ H=5.5}\)

Pole jednego prostokąta powierzchni bocznej:

\(\displaystyle{ P_x=aH}\)

Mamy sześciokąt więc takich pól \(\displaystyle{ P_x}\) na powierzchnię boczną składa się \(\displaystyle{ 6}\):

\(\displaystyle{ P_b=6P_x=6aH}\)

Bok \(\displaystyle{ a}\) wielokąta foremnego można wyrazić przy pomocy promienia koła wpisanego w ten wielokąt:

\(\displaystyle{ a=2r\tan\frac{\alpha}{2}}\)

Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest katem środkowym i wynosi:

\(\displaystyle{ \alpha=\frac{360^\mbox{o}}{n}}\),

gdzie \(\displaystyle{ n}\) - ilość boków wielokąta.

Mamy zatem:

\(\displaystyle{ a=2r\tan\frac{360^\mbox{o}}{12}=a=2r\tan 30^{\mbox{o}}=2r\frac{\sqrt{3}}{3}}\)

Pole powierzchni bocznej wynosi więć:

\(\displaystyle{ P_b=6aH=12\frac{\sqrt{3}}{3}rH=132\sqrt{3}}\)

---------------

[Anula6006]

z kąd wzięlo sie to 1/2 a^3=6 ?

[ariadna]

Wysokość w trójkącie równobocznym określona jest wzorem:
\(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\)
Nasz sześciokąt podzieliliśmy właśnie na 6 małych trójkątów równobocznych, których wysokość jest równa promieniowi a bok jest długości boku sześciokąta, a więc:
\(\displaystyle{ h=r}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a\sqrt{3}=r}\)
Lepiej?