Ostrosłup n-kątny

[joetoy]

Promienie okręgów opisanych na ścianach bocznych i na podstawie ostrosłupa prawidłowego n-kątnego mają długość R. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

[pelas_91]

1) Oznaczenia:
a - krawedź podstawy
b - krawędź boczna
2) Pole podstawy:
Podstawa - n-kat foremny składający się z n trójkatów równoramiennych o bokach R, R, a i kącie między ramionami \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{n}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ P_p=n \cdot 0,5R^2\sin \frac{2\pi}{n}}\)
Co więcej na mocy Tw. Cosinusów:
\(\displaystyle{ a^2=R^2+R^2-2 \cdot R \cdot R \cdot \cos\frac{2\pi}{n} \Leftrightarrow a=R \sqrt{2(1-\cos\frac{2\pi}{n})}=2R\sin\frac{\pi}{n}}\)
3)Pole boczne:
Powierzchnia boczna to pole n trójkątów równoramiennych o bokach b, b, a i kącie między ramionami \(\displaystyle{ \beta}\). Zatem \(\displaystyle{ P_b=n \cdot 0.5b^2\sin\beta}\).
Z Tw. Sinusów: \(\displaystyle{ 2R= \frac{a}{\sin\beta}=\frac{2R\sin\frac{\pi}{n}}{\sin\beta} \Leftrightarrow \sin\beta= \sin\frac{\pi}{n}}\)
Zatem: \(\displaystyle{ \cos\beta=\cos\frac{\pi}{n}}}\).
Z Tw. Cosinusów: \(\displaystyle{ a^2=b^2+b^2-2 \cdot b \cdot \cdot b \cdot \cos\beta}\)
czyli: \(\displaystyle{ (2R\sin\frac{\pi}{n}})^2=2b^2(1-\cos\frac{\pi}{n}}) \Leftrightarrow b^2=2R^2(1+\cos\frac{\pi}{n}})}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ P_b=n*0,5b^2 \cdot \sin\beta=nR^2(1+\cos\frac{\pi}{n}}) \cdot \sin\frac{\pi}{n}}=nR^2(\sin\frac{\pi}{n}}+0,5\sin\frac{2\pi}{n}})}\)
4)Podsumowanie:
\(\displaystyle{ P_c=P_p+P_b=nR^2(\sin\frac{\pi}{n}}+\sin\frac{2\pi}{n}})}\)