Pole przekroju graniastosłupa prawidłowego sześciokątego

[Taex]

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź podstawy ma długość a. Oblicz pole przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną wyznaczoną przez przekątne dwóch sąsiednich ścian bocznych wychodzących jednego wierzchołka, gdy kąt między tymi przekątnymi ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\)

Sporządziłem do tego taki rysunek ( ) - mam nadzieję, że dobry.

|AE| = 2 * wysokość trójkąta równobocznego więc \(\displaystyle{ 2* \frac{a \sqrt{3} }{2} = a \sqrt{3}}\)

I teraz mam problem dalej jak to policzyć? Próbowałem twierdzeniem cosinusów policzyć przekątną d i ze wzoru Herona policzyć pole tego trójkąta jednak wychodzą mi jakieś głupoty.

[777Lolek]

Rysunek dobry, poza tym, że nie połączyłeś punktów \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ G}\) no ale rozumiem że to dla przejrzystości.

przekątna \(\displaystyle{ d}\) z tw. cosinusów jest chyba najprostszym sposobem, i wynik wychodzi ładny (zauważ, że nie musisz tego przedstawiać w postaci \(\displaystyle{ d = ...}\) , wystarczy że obliczysz \(\displaystyle{ d^2}\) , bo to jest potrzebne tylko do skorzystania z tw. Pitagorasa). No i teraz możesz obliczyć zarówno \(\displaystyle{ h}\) jak i \(\displaystyle{ H}\) z tw. Pitagorasa, mając \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ d^2}\)

[anna_]

A po co \(\displaystyle{ d}\)?
Wysokość przekroju da się policzyć \(\displaystyle{ \tg{ \frac{\alpha}{2} }}\) lub \(\displaystyle{ \ctg{ \frac{\alpha}{2} }}\)

[Taex]

No faktycznie bez tego d łatwiej poszło

\(\displaystyle{ \frac{h}{ \frac{a \sqrt{3} }{2} } = ctg \frac{ \alpha }{2}}\)
\(\displaystyle{ 2h = ctg \frac{ \alpha }{2} * a \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ h = \frac{ctg \frac{ \alpha }{2} * a \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ P = \frac{3a ^{2} * ctg \frac{ \alpha }{2} }{2}}\)

Dobrze?

[anna_]

Prawie, sprawdź co ma być w ostatnim mianowniku

[777Lolek]

i bawić się brzydkim \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\)

\(\displaystyle{ P = \frac{ah}{{\red 2}}}\)



e. Ja myślałem że masz obliczyć pole całego graniastosłupa;p