objetosc z katow nachylenia

[aurak]

podstawa ostroslupa jest prostokat o polu 9 \(\displaystyle{ dm^{2}}\). dwie sciany boczne sa prostopadle do plaszczyzny podstawy, a dwie pozostale sciany boczne sa nachylone do niej pod atami 30 i 60.oblicz objetosc tego ostroslupa.

[maly_lobuziak]

Zacznijmy od tego, że skoro nasz ostrosłup jest prostokątny, to dwie ściany są trójkątami prostokątnymi.
Oznaczmy sobie przez a,b krawędzie podstawy (boki prostokąta), a niech H będzie wyskokością ostrosłupa.
Wiadomo, że \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H}\)
gdzie \(\displaystyle{ P_{p}=9dm^{2}}\)
musimy policzyć H.
Weźmy pod uwagę trójkąty prostokątne:
1. o przyprostokątnych H i b oraz kątem ostrym przy boku b równym \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\)
2. o przyprostokątnych H i a oraz kątem ostrym przy boku a równym \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\)
w 1. mamy
\(\displaystyle{ \tan30^{\circ}=\frac{H}{b}\\\frac{\sqrt{3}}{3}b=\frac{H}{b}}\)
w 2. mamy
\(\displaystyle{ \tan60^{\circ}=\frac{H}{a}\\\sqrt{3}=\frac{H}{a}}\)
z 1 i 2 wyprowadzamy H i porównujemy; otrzymujemy
\(\displaystyle{ \sqrt{3}a=\frac{\sqrt{3}}{3}b}\)
wyznaczamy np. \(\displaystyle{ b=3a}\) i podstwiamy do wzoru na pole prostokąta
\(\displaystyle{ P_{p}=ab\\9dm^{2}=3a^{2}\\a^{2}=3dm^{2}\\a=\sqrt{3}dm^{2}}\)
Otrzymana wartość podstawiamy do
\(\displaystyle{ H=a\sqrt{3}\\H=3dm}\)
I obliczamy objętość
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 3=9dm^{3}}\)