graniastosłup prosty

[kawiorek]

1. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym alfa. Krótsza przekątna graniastosłupa ma długość d i tworzy ze ścianą boczną kąt beta. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

[Premislav]

[tu były bzdety, do usunięcia]

[Errichto]

W trójkącie złożonym z tej krótszej przekątnej oraz krótszej przekątnej rombu i wysokości granaistosłupa jesteś w stanie obliczyć pozostałe boki z funkcji trygonometrycznych

Ale znamy kąt między krótszą przekątną a ścianą, a nie między tą przekątną a krawędzią. Czyli w tym trójkącie nie mamy żadnych kątów.

edit - gdyby mod usuwał post wyżej, to można i mój wykasować

[Premislav]

Masz rację, Errichto, przepraszam za pomyłkę.
EDIT: na moim koślawym rysunku powstał trójkąt składający się z krótszej przekątnej graniastosłupa, boku podstawy i przekątnej ściany bocznej, zatem z tego można policzyć długość boku rombu oraz długość przekątnej ściany bocznej, co pozwoliłoby na wyliczenie wysokości z Pitagorasa, a znając bok rombu i miarę kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), możemy wyliczyć długości przekątnych rombu.

[777Lolek]

Kąt między przekątną graniastosłupa a ścianą boczną to kąt między przekątną graniastosłupa a przekątną ściany bocznej.

No i teraz tak.. mamy dane: \(\displaystyle{ d,\alpha,\beta}\)
będę korzystał z tw. cosinusów:

\(\displaystyle{ a^2 + a^2 - 2\cdot a\cdot a\cdot \cos\alpha = e^2\\
e^2 = 2a^2(1-\cos\alpha)\\
a^2 = \frac{e^2}{2(1-\cos\alpha)}}\)

\(\displaystyle{ x^2 + d^2 - 2xd\cos\beta = a^2}\)

a teraz Pitagoras:
\(\displaystyle{ a^2 + H^2 = x^2 \Leftrightarrow H^2 = x^2 - a^2\\ e^2 + H^2 = d^2}\)
Podstawiamy z pierwszego do drugiego:

\(\displaystyle{ e^2 + x^2 - a^2 = d^2}\)
Ponadto, wyżej wyraziliśmy \(\displaystyle{ e^2}\) przez \(\displaystyle{ a^2}\) , stąd:

\(\displaystyle{ 2a^2(1 - \cos\alpha) + x^2 - a^2 = d^2 \Leftrightarrow x^2 + a^2(1 - 2\cos\alpha) = d^2}\)
Oprócz tego mamy drugie równanie które zapisałem gdzieś wyżej:
\(\displaystyle{ a^2 = x^2 + d^2 - 2xd\cos\beta}\) . Stąd mamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 = \frac{d^2 - x^2}{1 - 2\cos\alpha}\\ a^2 = x^2 + d^2 - 2xd\cos\beta \end{cases}}\)

Z tego da się wyznaczyć zarówno \(\displaystyle{ x}\) jak i \(\displaystyle{ a}\) . Następnie można więc obliczyć \(\displaystyle{ e}\) oraz \(\displaystyle{ H}\) , by wreszcie znaleźć objętość.

Aczkolwiek rozwiązywanie powyższego układu jest straszne, jednak wykonalne. Rozumowanie jest na 95% dobre. Tylko przy tym równaniu \(\displaystyle{ a^2 = \frac{d^2 - x^2}{1 - 2\cos\alpha}}\) należy założyć że \(\displaystyle{ \cos\alpha\not= \frac{1}{2}}\) , i jedyny pomysł jaki mi przychodzi do głowy to żeby przypadek kiedy \(\displaystyle{ \alpha = 60^o \Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{2}}\) rozpatrywać oddzielnie.



Pozdrawiam

[Sherlock]

Kąt między przekątną graniastosłupa a ścianą boczną to kąt między przekątną graniastosłupa a przekątną ściany bocznej.

To nie ten kąt. Kąt pomiędzy przekątną a ścianą boczną to kąt \(\displaystyle{ \angle D'BM}\) na poniższym rysunku.

1. Zauważ trójkąt prostokątny BMD':
\(\displaystyle{ \sin\beta= \frac{h}{d}}\)
\(\displaystyle{ h=d\sin\beta}\)

2.Zauważ trójkąt prostokątny D'MC':
\(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{h}{a}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{h}{\sin\alpha} \\
a= \frac{d\sin\beta}{\sin\alpha}}\)

Dalej już nie powinno być problemów...

[777Lolek]

Hmm.. Masz rację Sherlocku. Muszę powtórzyć:|

[Sherlock]

Tego typu kąty łatwiej dostrzec gdy się bryłę "położy" na danej ścianie bocznej