graniastosłup trójkątny wpisany w czworościan foremny

[klaptown]

Środki ścian bocznych czworościanu foremnego o krawędzi a są wierzchołkami górnej podstawy graniastosłupa prostego trójkątnego, wpisanego w ten czworościan. Oblicz
a) pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
b) objętość graniastosłupa

Robiłam już dwa razy, ale gdzieś robię błąd i mi nie wychodzi. Będę wdzięczna za pomoc

[anna_]

Pokaż jak robisz, poszukam błedu.

Rysunek może się przydać:

AU

53ba2bad8873e99amed.png (181.28 KiB) Przejrzano 98 razy

[/url]

[klaptown]

teraz widzę że ładnie namieszałam w tym zadaniu. spróbuje jeszcze raz.

[anna_]

Mam tak:

Krawędź podstawy - \(\displaystyle{ \frac{a}{3}}\)
wysokość - \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt6}{9}}\)

[klaptown]

To proszę pokaż mi jak to zrobiłaś bo ja już naprawdę nie wiem

[anna_]

\(\displaystyle{ |SO|=\frac{a\sqrt6}{3}\\
|DE|=\frac{a}{2}\\
|SD|=|SE|=\frac{a\sqrt3}{2}}\)

Środek ściany, to środek jej ciężkości.
Wysokośći w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.

\(\displaystyle{ |B'E|=\frac{1}{3}|SE|\\
|B'E|=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt3}{2}\\
|B'E|=\frac{a\sqrt3}{6}}\)
\(\displaystyle{ |B'S|=\frac{2}{3}|SE|\\
|B'S|=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt3}{2}\\
|B'S|=\frac{a\sqrt3}{3}}\)

Obliczam \(\displaystyle{ |BB'|}\)
Z podobieństwa trójkątów OES i BEB'
\(\displaystyle{ \frac{|SO|}{|SE|}=\frac{|BB'|}{|B'E|}\\
\frac{\frac{a\sqrt6}{3}}{\frac{a\sqrt3}{2}}=\frac{|BB'|}{\frac{a\sqrt3}{6}}\\
|BB'|=\frac{a\sqrt6}{9}}\)

Obliczam \(\displaystyle{ |A'B'|}\)
Z podobieństwa trójkątów DES i A'B'S
\(\displaystyle{ \frac{|A'B'|}{|B'S|}=\frac{|DE|}{|SE|}\\
\frac{|A'B'|}{\frac{a\sqrt3}{3}}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt3}{2}}\\
|A'B'|=\frac{\frac{a}{2}\cdot \frac{a\sqrt3}{3}}{\frac{a\sqrt3}{2}}\\
|A'B'|=\frac{a}{3}}\)