sześciany i prostopadłościany

Zyryx · Post autor: **Zyryx** » 11 mar 2007, o 13:51

1. Oblicz długość krawędzi sześcianu, którego objętość jest równa sumie objętości trzech sześcianów o krawędziach równych odpowiednio: a, b, c.

2. Oblicz tangens kąta, który tworzy przekątna sześcianu ze ścianą boczną.

3. Oblicz odległość środka ściany bocznej sześcianu o krawędzi a od jego przekątnej.

4. Oblicz długość krawędzi podstawy prostopadłościanu, którego pole podstawy jest równe 12 cm2, wysokość 12 cm, a przekątna 13 cm.

5. Długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny. Objętość prostopadłościanu jest równa 8 cm3, a jego pole powierzchni całkowitej 28 cm2. Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu.

Z góry dziękuje za jakąkolwiek pomoc w tych zadanich

*Kasia · Post autor: *Kasia » 11 mar 2007, o 13:55

AD.1
\(\displaystyle{ V=x^3=a^3+b^3+c^3\\
x=\sqrt[3]{a^3+b^3+c^3}}\)

AD.2
Skorzystaj z trójkąta: przekątna ściany bocznej, przekątna bryły, krawędź podstawy.
Są to dł.: \(\displaystyle{ a,\ a\sqrt{2},\ a\sqrt{3}}\), czyli
\(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

AD.4
d - przekątna podstawy
Z Pitagorasa:
\(\displaystyle{ d^2+12^2=13^2\\
d=5[cm]}\)

a, b - wymiary podstawy:
\(\displaystyle{ ab=12\\
a^2+b^2=5^2\\
\\
a^2+2ab+b^2=25+24\\
(a+b)^2=49\\
a+b=7\\
\\
a+b=7\\
ab=12\\
\\
(7-b)b=12\\
\\
a=3\\
b=4}\)

AD.5
\(\displaystyle{ a,\ aq,\ aq^2}\) dł. krawędzi prostopadłościanu

\(\displaystyle{ a^3q^3=8\\
2(a^2q+a^2q^2+a^2q^3)=28\\
\\
aq=2\\
a^2q(1+q+q^2)=14\\
\\
2q(1+q+q^2)=14}\)

Dł przekatnej: \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+(aq)^2+(aq^2)^2}}\), chyba.

sylmasz · Post autor: **sylmasz** » 19 sie 2009, o 10:33

"3. Oblicz odległość środka ściany bocznej sześcianu o krawędzi a od jego przekątnej."

A jak to obliczyć?

silicium2002 · Post autor: **silicium2002** » 19 sie 2009, o 12:30

d - odległość, a - bok kwadratu.
\(\displaystyle{ \frac{d}{ \frac{1}{2} a}= \frac{a \sqrt{2} }{a \sqrt{3} } \Rightarrow d = \frac{1}{2}a \sqrt{ \frac{2}{3} }}\)

sylmasz · Post autor: **sylmasz** » 21 sie 2009, o 13:46

aj...
a skąd taka proporcja? chyba nie z podobieństwa...
nie rozumiem...

pomoże ktoś ??-- 22 sie 2009, o 14:56 --halo ??

silicium2002 · Post autor: **silicium2002** » 24 sie 2009, o 16:11

sylmasz pisze:aj...
a skąd taka proporcja? chyba nie z podobieństwa...
nie rozumiem...

pomoże ktoś ??

-- 22 sie 2009, o 14:56 --

halo ??

Właśnie z podobieństwa Bierzesz sobie trójkąt Zawierający przekątną, przekątną podstawy, i bok sześcianu. I zaznaczasz odcinek od środka przekątnej (znaczy w tym przerkroju już) dośrodka podstawy i masz trójkąt podobny do tego co ten przekrój...

sylmasz · Post autor: **sylmasz** » 30 sie 2009, o 17:26

a możesz rozpisać ta proporcję wg tego rysunku?
bo z tego co wyżej nie bardzo wiem dlaczego \(\displaystyle{ \frac{d}{ \frac{a}{2} }}\) jest podobne...

agusia5430 · Post autor: **agusia5430** » 10 lut 2010, o 18:50

1. Ania zrobiła sześcienną kostkę do gry. Na jej ścianach, tak jak w typowej kostce, znajdują się : jedno, dwa, trzy, cztery, pięć i sześć oczek. Wtypowej kostce jednak sumy oczek na przeciwległych ścianach są równe, a w kostce Ani sumy te są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi. Ponadto suma oczek na pewnych trzech ścianach, mających wspólny wierzchołek, jest równa 14. Ile oczek znajduje się na ścianie przeciwległej do ściany z trzema oczkami ?

-- 10 lut 2010, o 18:53 --

2. Sześcian ( pełny w środku ) pomalowano na czerwono, a następnie rozcięto na 125 jednakowych małych sześcianów o krawędzi 1. Ile małych sześcianów nie ma żadnej czerwonej ściany ?

-- 10 lut 2010, o 18:58 --

3. Dane są trzy sześciany ze srebra (pełne w środku ). Krawędź pierwszego ma długość 3 cm, drugiego 4 cm, a trzeciego 5 cm. Te trzy sześciany stopiono i odlano z nich jeden duży sześcian. Oblicz długość jego krawędzi.

-- 10 lut 2010, o 19:02 --

4. Szczelnie zamknięte prostopadłościenne szklane pudełko o krawędzi 5 cm, 12 cm, 20 cm jest częściowo napełnione wodą. Pudelko stoi na najmniejszej ścianie, a woda sięga do wysokości 16 cm. Do jakiej wysokości sięgnie woda, gdy pudełko będzie stało na największej ścianie ?-- 10 lut 2010, o 19:04 --5. Narysuj sześć różnych siatek tego samego sześcianu.