Pola graniastosłupa a kąt nachylenia

ferr · Post autor: **ferr** » 27 paź 2012, o 13:25

Pole boczne ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz miarę konta nachylenia ściany bocznej do podstawy.

Próbowałem porównywać pola ale nie bardzo wychodzi. Proszę o jakieś wskazówki lub rozwiązanie.

edit. zamiast graniastosłupa miałbyć ostrosłup, przepraszam za błąd.

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 27 paź 2012, o 13:38

To ma być graniastosłup, czy ostrosłup?

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 27 paź 2012, o 13:42

Jeśli chodzi o graniastosłup, to można obliczyć kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do krawędzi podstawy, albo przekątnej bryły do krawędzi podstawy. Na początku oznaczasz krawędź podstawyjako \(\displaystyle{ a}\), a potem wyznaczasz długość krawędzi bocznej za pomocą zmiennej \(\displaystyle{ a}\).
Pozdrawiam!

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 27 paź 2012, o 13:47

wujomaro pisze:Jeśli chodzi o graniastosłup, to można (...)

Jeśli chodzi o graniastosłup prawidłowy, to w nim każda ściana jest nachylona do dowolnej podstawy pod kątem prostym i dalsze rozważania nie są potrzebne.

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 27 paź 2012, o 13:50

Tak, ale mogło zdarzyć się, że w treści zamiast:

Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy.

powinno być

Oblicz miarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do podstawy.

Pozdrawiam!

ferr · Post autor: **ferr** » 27 paź 2012, o 14:18

W trakcie przepisywania treści popełniłem błąd, chodziło mi oczywiście o ostrosłup, nie graniastosłup.

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 27 paź 2012, o 14:28

A jednak.
W takim razie jak zapisałbyś pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa, jeśli krawędź podstawy oznaczymy jako \(\displaystyle{ a}\), a wysokość ściany bocznej jako \(\displaystyle{ h}\)? Podstawą jest kwadrat o boku \(\displaystyle{ a}\), jego pole ile będzie wynosić?

ferr · Post autor: **ferr** » 27 paź 2012, o 14:35

Pole powieszchni bocznej wynosi \(\displaystyle{ Pb=2 \times ah}\)

podstawa wiadomo \(\displaystyle{ P=a^{2}}\)

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 27 paź 2012, o 14:44

Skoro pole powierzchni bocznej jest dwa razy większe od pola podstawy to znaczy, że jeśli wymnożymy pole podstawy przez 2, będziemy mogli postawić znak równości między pole powierzchni bocznej, a podwojonym polem podstawy, zgadza się? Jakbyś to zapisał?

ferr · Post autor: **ferr** » 27 paź 2012, o 14:49

Wyszło by \(\displaystyle{ 2 \times ah=2 \times a^{2}}\)

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 27 paź 2012, o 15:03

Z tego wynika, że ile jest równe \(\displaystyle{ h}\)?

ferr · Post autor: **ferr** » 27 paź 2012, o 15:13

\(\displaystyle{ h= \frac{2a^{2}}{2a}}\)?

skracając: \(\displaystyle{ h=a}\)?

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 27 paź 2012, o 15:18

Właśnie tak.
Teraz zastanówmy się, o jaki kąt chodzi w zadaniu: kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt, którego:
- jedno ramię stanowi wysokość trójkąta, który jest ścianą boczną
- drugie ramię stanowi odcinek w kwadracie: od punktu w połowie jednego boku do punktu w połowie przeciwległego boku; ten odcinek ma długość \(\displaystyle{ a}\)
Potrafisz to sobie wyobrazić, czy potrzebny będzie rysunek?

ferr · Post autor: **ferr** » 27 paź 2012, o 15:35

Tak wyobrażam to sobie. Wychodzi na to że trzeba poprowadzić wysokość ostrosłupa który podzieli jedno z ramion na pół. Przy kącie który chce obliczyć ramiona będą równać się \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}a}\) tak?

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 27 paź 2012, o 15:36

Nie zauważyłeś trójkąta równobocznego? Skoro ramiona tego kąta są równe \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ h=a}\), ten kąt będzie kątem trójkąta równobocznego.