Walec wpisany w ostrosłup

[TokaKoka]

Witam!!
Mam problem z zadaniem:

W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisany jest walec — jedna podstawa walca jest zawarta w podstawie ostrosłupa, druga podstawa ma jeden punkt wspólny z każdą ścianą boczną ostrosłupa. Krawędź podstawy ostrosłupa jest równa wysokości ściany bocznej. Przy jakim stosunku wysokości walca do wysokości ostrosłupa objętość walca jest największa?

Z góry dziękuję za pomoc.

[wb]

h - wysokość walca,H - wysokość ostrosłupa, a - krawędź podstawy a jednocześnie wysokość ściany bocznej.

Przekrój ostrosłupa przechodzący przez wysokości przeciwległych ścian ostrosłupa jest trójkątem równobocznym. Korzystając z podobieństwa:
\(\displaystyle{ \frac{h}{H}=\frac{a-2r}{a}}\)

Ponieważ:
\(\displaystyle{ H=\frac{a\sqrt3}{2} \\ a=\frac{2H}{\sqrt3}}\)
więc:
\(\displaystyle{ \frac{h}{H}=\frac{H-r\sqrt3}{H} \\ h=H-r\sqrt3 \\ r=\frac{H-h}{\sqrt3}}\)

Wówczas:
\(\displaystyle{ V=\pi(\frac{H-h}{\sqrt3})^2h=\frac{\pi}{3}(H^2h-2h^2H+h^3)=\frac{\pi}{3}H^3(\frac{h}{H}-2\frac{h^2}{H^2}+\frac{h^3}{H^3})= \\ =\frac{\pi}{3}H^3(x-2x^2+x^3)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ x=\frac{h}{H}}\)

Po policzeniu pochodnej x=1 (niemożliwe) lub x=1/3.
Zbadaj znaki pochodnej do ustalenia rodzaju ekstremum.