Wymiary puszki a minimalne zużycie materiału

[maniek840]

Witam
Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Producent konserw używa puszek o objętości 243 cm3. Kształt puszki jest w przybliżeniu prostopadłościenny, przy czym stosunek długości boków podstawy jest 2:1. Zaprojektuj wymiary puszki tak aby zużycie blachy było jak najmniejsze.

[Ponewor]

Najpierw po prostu zapisz treść zadania.
\(\displaystyle{ x}\) krótszy bok podstawy, \(\displaystyle{ h}\) wysokość puszki, \(\displaystyle{ 2x}\) dłuższy bok podstawy,
\(\displaystyle{ 2x \cdot x \cdot h = 243 \ cm^{3}}\)
\(\displaystyle{ P=2 \cdot (2x \cdot x + 2x \cdot h + x \cdot h) = 2 \cdot (2x^{2}+3xh)=4x^{2}+6xh}\)
Z jednego równania wyznaczas \(\displaystyle{ h}\), wstawiasz do drugiego i otrzymujesz funkcję \(\displaystyle{ P(x)}\) i szukasz jej wartości najmniejszej - zwykła optymalizacja.

[maniek840]

po wyznaczeniu \(\displaystyle{ h= \frac{243}{2 x^{2} }}\)

i podstawieniu \(\displaystyle{ P= 4 x^{2}+6x( \frac{243}{2 x^{2} })= 4 x^{2}+ \frac{1458}{2x}}\)

i co teraz mam zrobić z \(\displaystyle{ P(x)=4 x^{2}+ \frac{1458}{2x}}\) ?

mógłbyś pomóc bo nie daje rady

[anna_]

Policz pochodną i przyrównaj ją do zera.

[maniek840]

no właśnie i tu zaczynają się schody, czy pochodna będzie miała taką postać:
\(\displaystyle{ P(x)'= 8x+ \frac{(1458)' \cdot 2x-1458 \cdot (2x)'}{ (2x)^{2} }= 8x+ \frac{0 \cdot 2x-1458 \cdot 2}{4 x^{2} }= 8x+ \frac{-2916}{4 x^{2} }}\)

[anna_]

Ja bym liczyła trochę krócej

\(\displaystyle{ P(x)=4 x^{2}+ \frac{1458}{2x}=4x^2+ \frac{729}{x} =4x^2+729x^{-1}}\)


\(\displaystyle{ P'(x)=8x-729x^{-2}}\)

Teraz

\(\displaystyle{ 8x-729x^{-2}=8x- \frac{729}{x^2} = \frac{8x^3-729}{x^2} =0}\)

[maniek840]

ok, dzięki za wielką pomoc

po wyliczeniu wyszło mi, że \(\displaystyle{ x = 4,5cm}\) co za tym idzie drugi bok będzie miał \(\displaystyle{ 9 cm}\), a wysokość \(\displaystyle{ h = 6cm}\)

[anna_]

Zgadza się.