objetosc prostopadloscianu

bogus89 · Post autor: **bogus89** » 20 paź 2012, o 17:27

przekatna prostopadloscianu ma dlugosc 8cm, a miara kąta, jaki tworzy ona ze ścianą boczną wynosi 60. Oblicz objętość prostopadłościanu, jeśli jego wysokość wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{7} cm}\).

bb314 · Post autor: **bb314** » 20 paź 2012, o 18:12

przekątna pudła tworzy trójkąt prostokątny z jednym z boków podstawy i przekątną ściany

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 20 paź 2012, o 18:22

Jeśli wykonamy przejrzysty rysunek, to z trójkąta prostokątnego obliczymy długość \(\displaystyle{ a}\) jednej z krawędzi podstawy prostopadłościanu
\(\displaystyle{ a = 8\sin(60^{0}) = 8\frac{\sqrt{3}}{2} cm = 4\sqrt{3} cm.}\)
Z tego samego trójkąta obliczymy długość przekątnej \(\displaystyle{ p}\) ściany bocznej prostopadłościanu
\(\displaystyle{ p = 8\cos(60^{0}) = 8\frac{1}{2} cm = 4 cm.}\)
Z trójkąta prostokątnego ściany bocznej, stosując wzór Pitagorasa obliczymy długość \(\displaystyle{ b}\) drugiej krawędzi podstawy prostopadłościanu
\(\displaystyle{ b=\sqrt{p^{2} - h^{2}} = \sqrt{4^{2} - (\sqrt{7})^{2}} = \sqrt{16 -7} = \sqrt{9} = 3cm}\)

Objętość prostopadłościanu
\(\displaystyle{ V = a\cdot b \cdot h = (4\sqrt{3}\cdot 3\cdot \sqrt{7} )cm^{3} = 12\sqrt{21}cm^{3}.}\)

bogus89 · Post autor: **bogus89** » 21 paź 2012, o 20:55

czy aby napewno to zadanie jest dobrze rozwiazane? bo mi wyszedl inny wynik

anna_ · Post autor: **anna_** » 21 paź 2012, o 21:10

Jest dobrze.
Pokaż swoje obliczenia, poszukamy błędu.

bogus89 · Post autor: **bogus89** » 21 paź 2012, o 21:28

z tego trójkąta obliczyłam z pitagorasa dlugosc jednej krawedzi podstawy ktora wyszla mi \(\displaystyle{ 8 \sqrt{3}}\) (trzeci bok wynosi 16 z własnosci trojkąta 30,60,90)

anna_ · Post autor: **anna_** » 21 paź 2012, o 23:14

Przeczytaj jeszcze raz to co napisała bb314. Podejrzewam, że wzięłaś nie ten trójkąt co trzeba.

bogus89 · Post autor: **bogus89** » 22 paź 2012, o 10:43

ok juz mi wyszło, dzieki
mam jeszcze problem z takim zadaniem: oblicz objetosc graniastosłupa prawidlowego trojkatnego, w ktorym krawedz podstawy ma dlugosc 1, a przekatna sciany bocznej tworzy z sasiednia sciana kat 30.

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 22 paź 2012, o 12:14

: AU; eec93b6412130fad.jpg (6.37 KiB) Przejrzano 195 razy

Łatwiej dojrzymy podany kąt gdy graniastosłup przewrócimy. Zauważ trójkąt 30-60-90.

bogus89 · Post autor: **bogus89** » 22 paź 2012, o 12:26

w takim razie objetosc tego graniastoslupa wynosi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{6} }{4}}\). zgadza sie?

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 22 paź 2012, o 12:33

Zgadza się.