Wyrażenie objętości stożka

Game_Over · Post autor: **Game_Over** » 12 paź 2012, o 22:58

Witam !

Takie zadanie:"Objętość stożka o promieniu podstawy \(\displaystyle{ r}\) i wysokości \(\displaystyle{ h}\) wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h}\). Wyraź objętość stożka za pomocą zmiennych \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\)."

Czy ktoś wie jak to zrobić ?

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 12 paź 2012, o 23:02

Zależy czym jest \(\displaystyle{ \alpha}\). Może to być kąt rozwarcia stożka, albo kąt nachylenia tworzącej do podstawy.
Pozdrawiam!

Game_Over · Post autor: **Game_Over** » 15 paź 2012, o 11:37

Ano tak zapomniałem tego dodać. W tym przypadku \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem między tworzącą stożka a jego podstawą.

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 15 paź 2012, o 16:16

Zauważ, że powstanie trójkąt prostokątny o bokach: promień, wysokość stożka i tworząca stożka. Narysuj sobie to. Dzięki której funkcji trygonometrycznej możemy w naszym przypadku wyznaczyć wysokość?
Pozdrawiam!

Game_Over · Post autor: **Game_Over** » 15 paź 2012, o 20:25

Wysokość możemy wyznaczyć za pomocą funkcji \(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{h}{r}}\) czyli \(\displaystyle{ h = \tg \alpha \cdot r}\)

lub za pomocą funkcji \(\displaystyle{ \ctg \alpha = \frac{r}{h}}\) czyli też \(\displaystyle{ h = \tg \alpha \cdot r}\)

Podstawiając to do wzoru na objetość w stożku dostaję :
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} \pi r^{3} \tg \alpha}\)
i chyba o to tu chodziło ?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 15 paź 2012, o 20:31

Otrzymany przez Ciebie wzór jest prawidłowy i wystarczający.

Game_Over · Post autor: **Game_Over** » 15 paź 2012, o 20:34

dziękuję za podpowiedzi !
Pozdrawiam !