Stożek- oblicz miarę kąta rozwarcia i objętość

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Roudin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 172
Rejestracja: 20 mar 2012, o 16:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 2 razy

Stożek- oblicz miarę kąta rozwarcia i objętość

Post autor: Roudin »

1.Z wycinka koła o promieniu r zrobiono powierzchnię boczną stożka. Oblicz miarę kąta rozwarcia stożka i jego objętość, jeśli wycinek stanowi czwartą część koła.
2. Pole powierzchni bocznej stozka jest rowne Pb a jego pole powierzchni calkowitej -P. Oblicz miare kąta rozwarcia stozka

Nie mam pojęcia jak to zrobić. Proszę o pomoc.
777Lolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1053
Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podWarszawie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 208 razy

Stożek- oblicz miarę kąta rozwarcia i objętość

Post autor: 777Lolek »

niech \(\displaystyle{ r}\) - promień koła. Po zrobieniu z wycinka tego koła powierzchni bocznej stożka, mamy stożek o tworzącej \(\displaystyle{ r}\) . Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt rozwarcia stożka, oraz niech \(\displaystyle{ R}\) - promień podstawy stożka.

Znamy pole powierzchni bocznej stożka (jest to czwarta część danego koła) : \(\displaystyle{ \frac{1}{4}\Pi r^2}\) . Ponadto, znamy wzór na pole powierzchni bocznej stożka: \(\displaystyle{ \Pi\cdot R\cdot l}\) , gdzie \(\displaystyle{ R}\) - promień podstawy stożka, \(\displaystyle{ l}\) - tworząca stożka (którą przecież znamy, bo \(\displaystyle{ l = r}\) ). Zatem \(\displaystyle{ \Pi Rr = \frac{1}{4}\Pi r^2 \Leftrightarrow R = \frac{1}{4}r}\)

teraz z twierdzenia cosinusów można obliczyć cosinus kąta rozwarcia, a z Tw. Pitagorasa wysokość stożka, dzięki któremu otrzymasz objętość.
Roudin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 172
Rejestracja: 20 mar 2012, o 16:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 2 razy

Stożek- oblicz miarę kąta rozwarcia i objętość

Post autor: Roudin »

\(\displaystyle{ V= \frac{ \sqrt{15}r^3 }{192}}\)

A kąt wyszło mi \(\displaystyle{ \cos\alpha= \frac{7}{8}}\)
Czy dobrze??
777Lolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1053
Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podWarszawie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 208 razy

Stożek- oblicz miarę kąta rozwarcia i objętość

Post autor: 777Lolek »

Roudin pisze:\(\displaystyle{ V= \frac{ \sqrt{15}r^3 }{192}}\)

A kąt wyszło mi \(\displaystyle{ \cos\alpha= \frac{7}{8}}\)
Czy dobrze??
gdzieś zgubiłeś \(\displaystyle{ \Pi}\) .

\(\displaystyle{ V= \frac{ \sqrt{15}\Pi r^3 }{192}}\)

kąt obliczony dobrze. (myślę że obliczenie funkcji dla tego kąta jest wystarczające)
Roudin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 172
Rejestracja: 20 mar 2012, o 16:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 2 razy

Stożek- oblicz miarę kąta rozwarcia i objętość

Post autor: Roudin »

Ok dzieki A wie pan może jak zrobić zadanie drugie?
777Lolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1053
Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podWarszawie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 208 razy

Stożek- oblicz miarę kąta rozwarcia i objętość

Post autor: 777Lolek »

Mam 19 lat, kolego...;o Poza tym jesteśmy w Internecie

Dane mamy \(\displaystyle{ P_b}\) i \(\displaystyle{ P_c}\) .

\(\displaystyle{ P_c = \Pi r^2 + P_b}\)

Możemy stąd wyznaczyć promień podstawy: \(\displaystyle{ r=\sqrt{\frac{P_c - P_b}{\Pi}}}\)

następnie wyznaczymy tworzącą, bo mamy \(\displaystyle{ r}\) i mamy \(\displaystyle{ P_b}\) , a \(\displaystyle{ P_b = \Pi rl}\)

I ponownie z tw. cosinusów: mamy trójkąt równoramienny o bokach \(\displaystyle{ l, l, 2r}\) oraz kącie \(\displaystyle{ \alpha}\) między ramionami. Stąd \(\displaystyle{ cos\alpha = -\frac{2P_c^2 - 4P_bP_c + P_b^2}{P_b^2}}\)
Roudin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 172
Rejestracja: 20 mar 2012, o 16:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 2 razy

Stożek- oblicz miarę kąta rozwarcia i objętość

Post autor: Roudin »

ok dziękuje bardzo za pomoc. Wszystko ładnie mi wyszło
ODPOWIEDZ