Odległośc od wierzchołka- Prostopadłościan

[joetoy]

Podstawą prostopadłościanu \(\displaystyle{ ABCDA_1B_1C_1D_1}\) jest kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\), a odcinki \(\displaystyle{ AA_1}\), \(\displaystyle{ BB_1}\), \(\displaystyle{ CC_1}\), \(\displaystyle{ DD_1}\) są krawędziami bocznymi. Oblicz odległość wierzchołka \(\displaystyle{ B_1}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ ACD_1}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ |AB|=a}\) i \(\displaystyle{ |AA_1|=b.}\)

[wb]

Szukana odległość x jest wysokością trójkata \(\displaystyle{ D_1B_1E}\)
gdzie E jest punktem przecięcia się przekątnych podstawy ABCD.
Łatwo zauważyć, że trójkat ten jest równoramienny:
\(\displaystyle{ |D_1E|=|B_1E|=\sqrt{b^2+(\frac{1}{2}a\sqrt2)^2}=\sqrt{b^2+\frac{1}{2}a^2}}\)

Licząc pole tego trójkata na dwa sposoby otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sqrt{b^2+\frac{1}{2}a^2}\cdot x=\frac{1}{2}a\sqrt2\cdot b \\ x=\frac{2ab}{\sqrt{2b^2+a^2}}}\)

[joetoy]

Zgadza się . Punkt ląduje na Twoim koncie.

[Minority]

a skąd się wziął wzór na pole \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} a\sqrt{2} \cdot b}\) jakoś mi on nie pasuje do mojego rysunku. Bo ten pierwszy taki sam mi wyszedł.


Cofam pytanie... już wiem

[Piotras.]

Ta odleglosc od wierzcholka to odcinek miedzy wierzchokiem a srodkiem ciezkosci plaszczyzny? Skad wiadomo ze jest nachylony pod katem 90 st?