stosunek objętosci kuli wpisanej i opisanej

[mavi]

tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. obl. stosunek objętości kuli wpisanej w ten stozek do objetosci kuli na nim opisanej


z góry dzięki

[wb]

R - promień kuli opisanej na stożku,
r - promień kuli wpisanej w stożek,
s - promień podstawy stożka,
l - tworząca stożka.

R:
\(\displaystyle{ \frac{l}{sin30^0}=2R \\ l=R \\ V_o=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi l^3}\)

r:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}l^2sin120^0=\frac{2l+2s}{2}r \\ r=\frac{\sqrt3 l^2}{4(l+s)}}\)
Ponieważ:
\(\displaystyle{ \frac{s}{l}=cos30^0 s=\frac{\sqrt3}{2}l}\)
więc:
\(\displaystyle{ r=\frac{\sqrt3 l}{2(2+\sqrt3)} \\ V_w=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi (\frac{\sqrt3 l}{2(2+\sqrt3)})^3}\)

Można już więc policzyć \(\displaystyle{ \frac{V_w}{V_o}}\)

[mavi]

a skąd się to wzięło?

\(\displaystyle{ \frac{l}{sin30^0}=2R}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}l^2sin120^0=\frac{2l+2s}{2}r }}\)

[wb]

Po wykonaniu, w przedstawionej w treści zadania sytuacji, przekroju osiowego mamy do czynienia z trójkatem i okręgiem na nim opisanym i okręgiem wpisanym.

Zapis:
\(\displaystyle{ \frac{l}{sin30^0}=2R}\)
jest elementem twierdzenia sinusów.

Zapis drugi o który pytasz to P=pr, gdzie P jest polem trójkata, p połową obwodu trójkata.