Ostrosłup- obliczanie cosinusa kąta między ścianami

[artur_kacprzyk]

Witam, mała prośba do matematyków.
Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 4\sqrt{2}}\) . Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają długość \(\displaystyle{ 4}\). Oblicz cosinus kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

Obliczyłem, ale wyszedł mi zły wynik. Sprawdzałem kilkakrotnie.
Prawidłowy wynik to \(\displaystyle{ \frac{- \sqrt{21} }{21}}\).

AU

JmIvo.jpg (23.49 KiB) Przejrzano 649 razy

Ja najpierw wyliczyłem długości wysokości \(\displaystyle{ \left|DE\right|}\) i \(\displaystyle{ \left|BE\right|}\) , następnie przekątną podstawy i z twierdzenia cosinusów wyliczyłem \(\displaystyle{ cos\alpha}\), jednak wyszedł zły wynik. Podstawowe pytanie: czy dobrze zaznaczyłem kąt?
Dziękuję wszystkim za pomoc.

[Lorek]

Idea zaznaczenia kąta dobra, tylko jest pewien problem: te wysokości nie spotykają się w jednym punkcie (podstawy odpowiednich trójkątów są różne), więc w zasadzie nie da się wyznaczyć cosinusa (nie jest to kąt liniowy).

[artur_kacprzyk]

Idea zaznaczenia kąta dobra, tylko jest pewien problem: te wysokości nie spotykają się w jednym punkcie (podstawy odpowiednich trójkątów są różne), więc w zasadzie nie da się wyznaczyć cosinusa (nie jest to kąt liniowy).

Więc jest jakiś sposób na rozwiązanie tego zadania?

[aniu_ta]

Jeśli chodzi o czerwony trójkąt:

Odcinek DE jest dobrze narysowany, bo trójkąt ADS jest równoboczny (zauważ, że E leży w połowie odcinka AS).

Przede wszystkim zauważ, że trójkąt ABS jest równoramienny prostokątny. Aby więc w tym trójkącie narysować odcinek, który zaczyna się w E i jest prostopadły do boku AS, należy po prostu narysować odcinek równoległy do boku SB (gdyż ten bok również tworzy kąt prosty z bokiem AS).

Jak łatwo zauważyć, ten drugi bok czerwonego trójkąta będzie miał długość 2, będzie równoległy do boku SB i przetnie bok AB w połowie (mam nadzieję że go "widzisz" naprawdę nie chce mi się tego rysować ).

Sama idea zadania z tw. cosinusów wydaje się być jak najbardziej popawna.