Stożek i wpisany graniastosłup

[nataliia_16]

W stożek, którego promień podstawy jest równy \(\displaystyle{ R}\), a tworzące nachylone są do podstawy pod katem \(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{2}}\) ,wpisano graniastosłup prosty trójkątny w ten sposób, ze jego dolna podstawa spoczywa na podstawie stożka, a wierzchołki górnej podstawy leżą na powierzchni bocznej stożka. Znajdź pole powierzchni bocznej graniastosłupa, jeżeli podstawa jego jest trójkąt prostokątny o kacie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\) , a jego wysokość jest równa promieniowi koła opisanego na górnej podstawie graniastosłupa.

[wujomaro]

Wprowadźmy na chwilę y, oznaczymy tą literą jeden bok trójkąta w podstawie graniastosłupa. Rysunek:
Okręgi muszą być współ środkowe. Teraz rysunek przekroju stożka:
Teraz obliczmy wysokość graniastosłupa: \(\displaystyle{ H _{g} = \frac{y}{2 \sin \alpha }}\) Skorzystałem ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ R= \frac{a}{2 \sin \alpha }}\)
Wysokość graniastosłupa można tez wyznaczyć tak: \(\displaystyle{ \sin \frac{ \alpha }{2}= \frac{H _{g} }{R-y} \rightarrow H _{g}= \sin \frac{ \alpha }{2} \left( R-y\right)}\)
Więc: \(\displaystyle{ \frac{y}{2 \sin \alpha }= \sin \frac{ \alpha }{2}\left( R-y\right)}\)
Obliczasz y. Potem możesz obliczyć przeciwprostokątną podstawy, ponieważ jeśli trójkąt jest prostokątny, to przeciwprostokątna ma długość dwa razy większą niż promień opisany na tym trójkącie. Trzeci bok obliczysz już z tw. Pitagorasa. A pole powierzchni bocznej graniastosłupa, to obwód podstawy pomnożony przez wysokość.
Pozdrawiam!