W podstawę stożka wpisano kwadrat, którego bok jest równy \(\displaystyle{ a}\). Przekrój stożka jest płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek stożka i bok wpisanego kwadratu jest trójkątem równoramiennym o kacie wierzchołkowym równym \(\displaystyle{ \alpha}\) .
Znajdź objętość i pole powierzchni całkowitej stożka.
Stożek - objętość i pole
-
nataliia_16
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 17 maja 2012, o 12:00
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 4 razy
-
Paulina-Anna
- Użytkownik
- Posty: 201
- Rejestracja: 6 gru 2009, o 14:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 24 razy
Stożek - objętość i pole
Oznaczmy kwadrat jako ABCD, wierzchołek stożka jako S i spadek wysokości(będący środkiem podstawy stożka) jako O.
Wówczas \(\displaystyle{ \left| AO\right| = \frac{a \sqrt{2} }{2}}\)
W tr.\(\displaystyle{ ABS}\) \(\displaystyle{ sin { \frac{ \alpha }{2} } = \frac{ \frac{a}{2} }{\left| AS\right| }}\)
\(\displaystyle{ \left| AS\right|= \frac{a}{2sin ^{ \frac{ \alpha }{2} } }}\)
Z tw. Pitagorasa w tr \(\displaystyle{ AOS}\)
\(\displaystyle{ \left| OS\right| = \sqrt{\left| AS\right|^2-\left| AO\right|^2 }= \frac{a}{2sin { \frac{ \alpha }{2} } } \sqrt{1-2sin^2 \frac{ \alpha }{2} }}\)
Masz już wszystkie dane do obliczenia objętości i pow. całk. stożka.
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot \left| AO\right|^2 \cdot \left| SO\right| = \frac{a^3}{12sin \frac{ \alpha }{2} } \sqrt{1-2sin^2 \frac{ \alpha }{2} }}\)
\(\displaystyle{ S _{całk} = \pi \cdot \left| AO\right|( \left| AO\right| + \left| AS\right|) = \frac{a^2 \pi \sqrt{2}(1+ \sqrt{2} sin \frac{ \alpha }{2} ) }{4sin \frac{ \alpha }{2} }}\)
Wówczas \(\displaystyle{ \left| AO\right| = \frac{a \sqrt{2} }{2}}\)
W tr.\(\displaystyle{ ABS}\) \(\displaystyle{ sin { \frac{ \alpha }{2} } = \frac{ \frac{a}{2} }{\left| AS\right| }}\)
\(\displaystyle{ \left| AS\right|= \frac{a}{2sin ^{ \frac{ \alpha }{2} } }}\)
Z tw. Pitagorasa w tr \(\displaystyle{ AOS}\)
\(\displaystyle{ \left| OS\right| = \sqrt{\left| AS\right|^2-\left| AO\right|^2 }= \frac{a}{2sin { \frac{ \alpha }{2} } } \sqrt{1-2sin^2 \frac{ \alpha }{2} }}\)
Masz już wszystkie dane do obliczenia objętości i pow. całk. stożka.
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot \left| AO\right|^2 \cdot \left| SO\right| = \frac{a^3}{12sin \frac{ \alpha }{2} } \sqrt{1-2sin^2 \frac{ \alpha }{2} }}\)
\(\displaystyle{ S _{całk} = \pi \cdot \left| AO\right|( \left| AO\right| + \left| AS\right|) = \frac{a^2 \pi \sqrt{2}(1+ \sqrt{2} sin \frac{ \alpha }{2} ) }{4sin \frac{ \alpha }{2} }}\)