Sześcian - dowód [maturalne] Czy mogę tak zrobić?

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Patron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 90
Rejestracja: 3 paź 2010, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: War-Maz
Podziękował: 14 razy

Sześcian - dowód [maturalne] Czy mogę tak zrobić?

Post autor: Patron »

ZAD
Na przekątnych AB i CD sąsiednich ścian bocznych sześcianu (przekątne AB i CD leżą na prostych skośnych) wybrano punkty E i F tak, że |AE|:|EB|=|DF|:|FC|=2:1. Wykaż, że odcinek EF jest prostopadły do przekątnych AB i CD.
AU
AU
2iqiwe8.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 61 razy
...
Można to chyba zrobić za pomocą tw. o trzech prostych prostopadłych, ale czy mogę to zrobić w sposób następujący?
...

Oznaczam bok sześcianu jako \(\displaystyle{ a}\)
Wyciągam trójkąt \(\displaystyle{ AFB}\)
AU
AU
211kw7d.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 61 razy
Wyliczam:
\(\displaystyle{ |AF|}\) z trójkąta prostokątnego FCA
\(\displaystyle{ |AE|}\) jako \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) długości przekątnej sześcianu
\(\displaystyle{ |EB|}\) jako \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) długości przekątnej sześcianu
\(\displaystyle{ |FB|}\) z trójkąta prostokątnego BDF

Oto wyliczone:
AU
AU
xb9u7c.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 61 razy
Stawiam teraz tezę, że \(\displaystyle{ EF}\) jest prostopadłe do \(\displaystyle{ |AB|}\)
Jeżeli tak jest to:

\(\displaystyle{ |AF|^{2} - |AE|^{2} = |EB|^{2} - |EB|^{2}}\)

I rzeczywiście owa równość zachodzi, co potwierdza tezę.
Analogicznie przeprowadzam dowód dla trójkąta CED
....

Czy mogę tak to rozwiązać na maturze?
witek1902
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 182
Rejestracja: 15 lut 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Maków Mazowiecki
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 14 razy

Sześcian - dowód [maturalne] Czy mogę tak zrobić?

Post autor: witek1902 »

\(\displaystyle{ |FB|}\) z trójkąta prostokątnego BDF
Dlaczego zakładasz, że ten trójkąt jest prostokątny?
Patron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 90
Rejestracja: 3 paź 2010, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: War-Maz
Podziękował: 14 razy

Sześcian - dowód [maturalne] Czy mogę tak zrobić?

Post autor: Patron »

Tak, tak, pomyliłem się
Obliczałem to z tego (długość małego kwadratu to \(\displaystyle{ \frac{1}{3} a}\) :
AU
AU
asf29.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 61 razy
ODPOWIEDZ