ZAD
Na przekątnych AB i CD sąsiednich ścian bocznych sześcianu (przekątne AB i CD leżą na prostych skośnych) wybrano punkty E i F tak, że |AE|:|EB|=|DF|:|FC|=2:1. Wykaż, że odcinek EF jest prostopadły do przekątnych AB i CD.
...
Można to chyba zrobić za pomocą tw. o trzech prostych prostopadłych, ale czy mogę to zrobić w sposób następujący?
...
Oznaczam bok sześcianu jako \(\displaystyle{ a}\)
Wyciągam trójkąt \(\displaystyle{ AFB}\)
Wyliczam:
\(\displaystyle{ |AF|}\) z trójkąta prostokątnego FCA
\(\displaystyle{ |AE|}\) jako \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) długości przekątnej sześcianu
\(\displaystyle{ |EB|}\) jako \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) długości przekątnej sześcianu
\(\displaystyle{ |FB|}\) z trójkąta prostokątnego BDF
Oto wyliczone:
Stawiam teraz tezę, że \(\displaystyle{ EF}\) jest prostopadłe do \(\displaystyle{ |AB|}\)
Jeżeli tak jest to:
\(\displaystyle{ |AF|^{2} - |AE|^{2} = |EB|^{2} - |EB|^{2}}\)
I rzeczywiście owa równość zachodzi, co potwierdza tezę.
Analogicznie przeprowadzam dowód dla trójkąta CED
....
Czy mogę tak to rozwiązać na maturze?
Sześcian - dowód [maturalne] Czy mogę tak zrobić?
-
- Użytkownik
- Posty: 182
- Rejestracja: 15 lut 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Maków Mazowiecki
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
Sześcian - dowód [maturalne] Czy mogę tak zrobić?
Dlaczego zakładasz, że ten trójkąt jest prostokątny?\(\displaystyle{ |FB|}\) z trójkąta prostokątnego BDF
-
- Użytkownik
- Posty: 90
- Rejestracja: 3 paź 2010, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: War-Maz
- Podziękował: 14 razy
Sześcian - dowód [maturalne] Czy mogę tak zrobić?
Tak, tak, pomyliłem się
Obliczałem to z tego (długość małego kwadratu to \(\displaystyle{ \frac{1}{3} a}\) :
Obliczałem to z tego (długość małego kwadratu to \(\displaystyle{ \frac{1}{3} a}\) :