pole stożków

[wojusu]

Które ze stożków o danej objętości V ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej?

[ares41]

Zacznij od rysunku przekroju tego stożka.
Wyraź pole powierzchni całkowitej w zależności od objętości i policz ekstrema tej funkcji.

[wojusu]

Wiem na jakiej zasadzie, ale nie wiem dokładnie jak wzorów użyć. Proszę o rozpoczęcie zadania.

[Ponewor]

podaj wzór na objętość, potem pole, a potem "wciśnij" wyrażenie wyrażające objętość do wzoru na pole.

[wojusu]

mam wyznaczyć l (ale jak, bo we wzorze na objętość nie ma tworzącej l), czy h ale przypadek odwrotny bo nie ma h w polu, czy r tylko, że mi wychodzą głupoty (chyba tu jest problem)
\(\displaystyle{ P= \pi\cdot r\cdot (r+ l)}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^{2} \cdot h}\)

[Ponewor]

No masz przecież \(\displaystyle{ P = \frac{3Vl}{h}}\)
jakie musi być \(\displaystyle{ \frac{l}{h}}\) by \(\displaystyle{ P}\) było jak najmniejsze?

[wojusu]

przepraszam za moją niewiedzę, ale jak wyszło, że \(\displaystyle{ P= \frac{3Vl}{h}}\)
\(\displaystyle{ P= \left( \sqrt{ \frac{3V}{ \pi \cdot h} } \right)^{2} \cdot \pi + \sqrt{ \frac{3V}{ \pi \cdot h}} \cdot \frac{ \pi \cdot l}{1}}\) po podstawieniu

[Ponewor]

\(\displaystyle{ P= \pi\cdot r\cdot (r\cdot l)}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^{2} \cdot h}\)
niech \(\displaystyle{ S=\pi \cdot r^{2}}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ P= S \cdot l}\)

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}\cdot S \cdot h}\)

zatem

\(\displaystyle{ S= \frac{3V}{h}}\)

po wstawieniu do \(\displaystyle{ P}\) mamy:

\(\displaystyle{ P= \frac{3Vl}{h}}\)

[wojusu]

wzor na pole wyglada inaczej