Objętość sześcianu a objętość czworościanu

[matfizchem19]

Objętość sześcianu o boku \(\displaystyle{ a}\) jest równa objętości czworościanu o boku \(\displaystyle{ b}\). Oblicz stosunek krawędzi \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) tych brył.
Ja wiem jedynie tyle, że objętość sześcianu wynosi \(\displaystyle{ a ^{3}}\),a czworościanu (w tym wypadku) \(\displaystyle{ \frac{b ^{3} \sqrt{2}}{12}}\). Ktoś wie co dalej z tym zrobić?

[wujomaro]

\(\displaystyle{ \frac{a ^{3} }{1} = \frac{b ^{3} }{12}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{b \sqrt[3]{ \sqrt{2} } }{ \sqrt[3]{12} }}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{b \sqrt[6]{2} }{ \sqrt[3]{12} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}= \frac{ \sqrt[6]{2} }{ \sqrt[3]{12} }}\)
Pozdrawiam!

[octahedron]

\(\displaystyle{ a^3=\frac{b^3\sqrt{2}}{12}\\
\frac{a^3}{b^3}=\frac{\sqrt{2}}{12}\\
\frac{a}{b}=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{12}}=\frac{\sqrt[6]{2}}{\sqrt[3]{12}}}\)

[Jacek_Karwatka]

objętości obu są równe i jak napisałeś:
\(\displaystyle{ v=a ^{3}= \frac{b ^{3} \sqrt{2} }{12}}\)

mamy więc:

\(\displaystyle{ \frac{a ^{3} }{b ^{3} }= \frac{ \sqrt{2} }{12}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ \frac{a }{b }= \sqrt[3]{\frac{ \sqrt{2} }{12}}}\)

[wujomaro]

Pytanie dlaczego każdy wynik jest inny? Zdaje mi się octahedron, że:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \sqrt[m]{x} } = \sqrt[m+n]{x}}\)
a nie \(\displaystyle{ \sqrt[m \cdot n]{x}}\)
Pozdrawiam!

[octahedron]

\(\displaystyle{ \left( a^x\right) ^y=a^{xy}\\\\
\sqrt[m]{a}=a^{\frac{1}{m}}\\\\
\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\left( a^{\frac{1}{m}}\right) ^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{mn}}=\sqrt[mn]{a}}\)