Walec wpisany w stożek (ekstremum)

[wojusu]

Wyznacz długość promienia podstawy i wysokości walca wpisanego w stożek o danym promieniu postawy r, którego długość wysokości jest równa h, tak aby objętość walca była największa.

[mat_61]

Wskazówka:

1. Zrób sobie rysunek - przekrój osiowy tych brył (prostokąt wpisany w trójkąt równoramienny) i oznacz na nim promień i wysokość walca odpowiednio przez \(\displaystyle{ R}\) oraz \(\displaystyle{ H}\)

2. Z podobieństwa odpowiednich trójkątów możesz napisać proporcję:

\(\displaystyle{ \frac{h}{r} = \frac{H}{r-R}}\)

i wyznaczyć z niej \(\displaystyle{ H=f(R)}\)

3. Teraz wstaw tą wartość do wzoru na objętość walca i otrzymasz funkcję:

\(\displaystyle{ V=f(R)}\)

4. Wyznacz dla jakiej wartości \(\displaystyle{ R}\) ta funkcja osiąga maksimum, następnie oblicz \(\displaystyle{ H}\) (patrz punkt 2)