Sześcian i ostrosłup czworokątny.

[thigrand]

1. Krawędź sześcianu ma długość a. Odległość środka ściany sześcianu od przekątnej sześcianu jest równa:

Natknąłem się na takie zadanko i mnie trochę rozłożyło. Nieścisłe jest dla mnie określenie środek ściany sześcianu. Zakładam jednak, że to punkt przecięcia się przekątnych boku sześcianu. Też nie jestem pewien do którego miejsca przekątnej sześcianu mam liczyć odległość. Dlatego założyłem, że tak samo, do przecięcia się przekątnych sześcianu(Ew. do krawędzi sześcianu). Tym tokiem rozumowania stwierdziłem, że ta odległość wynosi \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\) Jednak wynik w odpowiedziach jest równy: \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{2} }{2 \sqrt{3} }}\). Jakieś pomysły?

2.Na rysunku obok przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny i jego przekrój wyróżniony kolorem zielonym. Pole tego przekroju jest równe:




Mój trop był taki. Zakładam, że podstawą jest kwadrat, więc |DB|=\(\displaystyle{ a \sqrt{2}=18 \sqrt{2}}\). Daje nam to wymiar podstawy trójkąta, którego Pole mamy wyliczyć. Brakuje więc tylko wysokości przekroju. Zauważamy, że powstaje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej połowie przekątnej podstawy. Dzięki funkcji cosinus \(\displaystyle{ h= \frac{9 \sqrt{2} }{cos30 ^{o} }}\) więc \(\displaystyle{ h= \frac{18 \sqrt{6} }{3}=6 \sqrt{6}}\). Zatem \(\displaystyle{ P(przekroju)= \frac{1}{2}*18 \sqrt{2}*6 \sqrt{6}=108\sqrt{3}}\). Niestety w odpowiedziach mówią, że ma wyjść \(\displaystyle{ 81\sqrt{3}}\). Jakieś pomysły? Jeśli podstawa miałaby być rombem to nie mam pomysłu jak to zrobić. Może być podstawa rombem?

[Pancernik]

2. Jak możesz zakładać, że podstawą jest kwadrat skoro jest ten ostrosłup prawidłowy czworokątny. Czyli jest to na \(\displaystyle{ 100 \%}\) kwadrat.

\(\displaystyle{ \cos 30^\circ = \frac{h}{9\sqrt{2}}\\
\frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{h}{9\sqrt{2}}\\
\sqrt{3} \cdot 9\sqrt{2}=2h\\
9 \sqrt{6} =2h\\
h= \frac{9 \sqrt{6}}{2}}\)

\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot 18 \sqrt{2} \cdot \frac{9 \sqrt{6}}{2} =81\sqrt{3}}\)-- 1 maja 2012, o 01:20 --1. Co do tego zadania, to musisz się nauczyć paru pojęć.
Odległość punktu od odcinka (prostej) odmierza się pod kątem prostym. Czyli jak najkrótsza linia.
Nie możesz sobie zakładać, że coś jest tak jak Ci się wydaje, bo tak jest prościej.

Rozwiązanie:

Krawędź sześcianu - \(\displaystyle{ a}\)
Przekątna ściany sześcianu - \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\)
Przekątna sześcianu - \(\displaystyle{ a\sqrt{3}}\)
Kat między przekątna ściany sześcianu, a przekątna sześcianu - \(\displaystyle{ \alpha}\)
Odległość środka ściany sześcianu, a przekątną sześcianu - \(\displaystyle{ x}\)

Nie wiadomo w jakim dokładnie miejscu na przekątnej sześcianu musimy zaznaczyć punkt. Ale wiemy, że jest w tym punkcie kąt prosty między przekątną sześcianu, a odległością od środka ściany sześcianu.
Czyli:
\(\displaystyle{ \sin\alpha= \frac{x}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}\\
\sin\alpha= \frac{2x}{a\sqrt{2}}}\)

\(\displaystyle{ \sin\alpha}\) możemy obliczyć z większego trójkąta, który jest utworzony z krawędzi podstawy, przekątnej ściany bocznej i przekątnej sześcianu.
\(\displaystyle{ \sin\alpha= \frac{a}{a\sqrt{3}}}\)

Co daje:
\(\displaystyle{ \sin\alpha= \frac{2x}{a\sqrt{2}}\\
\frac{2x}{a\sqrt{2}}= \frac{a}{a\sqrt{3}}\\
2ax\sqrt{3}=a^2\sqrt{2}\\
2x\sqrt{3}=a\sqrt{2}\\
x= \frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\\
x=\frac{a\sqrt{6}}{6}}\)

[thigrand]

Dzięki serdeczne. Doceniam, że chciało Ci się odpowiedzieć na oba zadania. Teraz już rozumiem;)