wielościan wypukły
wielościan wypukły
Wykaż, że każdy wielościan wypukły musi mieć przynajmniej jedno naroże trójścienne lub przynajmniej jedną ścianę trójkątną.
-
- Użytkownik
- Posty: 351
- Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 94 razy
wielościan wypukły
Ze wzoru Eulera:
\(\displaystyle{ W+S-K=2}\)
gdzie:
W - liczba wierzchołków;
S - liczba ścian;
K - liczba krawędzi;
Jeśli nie ma ścian trójkątnych to:
\(\displaystyle{ 2K \ge 4S}\)
(ściana ma co najmniej 4 krawędzie, i krawędź łączy dwie ściany)
Jeśli nie ma narożny trójściennych to:
\(\displaystyle{ 2K \ge 4W}\)
(wierzchołek ma co najmniej 4 krawędzie i krawędź łączy dwa wierzchołki)
mamy więc układ nierówności:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W+S-K=2 \\ 2K \ge 4S \\ 2K \ge 4W \end{cases}}\)
po przekształceniach
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2W+2S-2K=4 \\ K \ge 2S \\ K \ge 2W \end{cases}}\)
dalej
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2W-K + 2S-K=4 \\ 2S-K \le 0 \\ 2W-K \le 0 \end{cases}}\)
sumując ostatnie nierówności
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2S-K + 2W-K=4 \\ 2S-K + 2W-K \le 0 \end{cases}}\)
otrzymujemy sprzeczność
Założenie że istnieje wielościan wypukły który nie ma przynajmniej jednego naroża trójściennego lub przynajmniej jednej ściany trójkątnej jest fałszywe.
\(\displaystyle{ W+S-K=2}\)
gdzie:
W - liczba wierzchołków;
S - liczba ścian;
K - liczba krawędzi;
Jeśli nie ma ścian trójkątnych to:
\(\displaystyle{ 2K \ge 4S}\)
(ściana ma co najmniej 4 krawędzie, i krawędź łączy dwie ściany)
Jeśli nie ma narożny trójściennych to:
\(\displaystyle{ 2K \ge 4W}\)
(wierzchołek ma co najmniej 4 krawędzie i krawędź łączy dwa wierzchołki)
mamy więc układ nierówności:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W+S-K=2 \\ 2K \ge 4S \\ 2K \ge 4W \end{cases}}\)
po przekształceniach
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2W+2S-2K=4 \\ K \ge 2S \\ K \ge 2W \end{cases}}\)
dalej
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2W-K + 2S-K=4 \\ 2S-K \le 0 \\ 2W-K \le 0 \end{cases}}\)
sumując ostatnie nierówności
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2S-K + 2W-K=4 \\ 2S-K + 2W-K \le 0 \end{cases}}\)
otrzymujemy sprzeczność
Założenie że istnieje wielościan wypukły który nie ma przynajmniej jednego naroża trójściennego lub przynajmniej jednej ściany trójkątnej jest fałszywe.