wielościan wypukły

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

wielościan wypukły

Post autor: BlueSky »

Wykaż, że każdy wielościan wypukły musi mieć przynajmniej jedno naroże trójścienne lub przynajmniej jedną ścianę trójkątną.
Jacek_Karwatka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 351
Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 94 razy

wielościan wypukły

Post autor: Jacek_Karwatka »

Ze wzoru Eulera:

\(\displaystyle{ W+S-K=2}\)

gdzie:
W - liczba wierzchołków;
S - liczba ścian;
K - liczba krawędzi;

Jeśli nie ma ścian trójkątnych to:
\(\displaystyle{ 2K \ge 4S}\)
(ściana ma co najmniej 4 krawędzie, i krawędź łączy dwie ściany)

Jeśli nie ma narożny trójściennych to:
\(\displaystyle{ 2K \ge 4W}\)
(wierzchołek ma co najmniej 4 krawędzie i krawędź łączy dwa wierzchołki)

mamy więc układ nierówności:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W+S-K=2 \\ 2K \ge 4S \\ 2K \ge 4W \end{cases}}\)

po przekształceniach

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2W+2S-2K=4 \\ K \ge 2S \\ K \ge 2W \end{cases}}\)

dalej

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2W-K + 2S-K=4 \\ 2S-K \le 0 \\ 2W-K \le 0 \end{cases}}\)

sumując ostatnie nierówności

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2S-K + 2W-K=4 \\ 2S-K + 2W-K \le 0 \end{cases}}\)

otrzymujemy sprzeczność
Założenie że istnieje wielościan wypukły który nie ma przynajmniej jednego naroża trójściennego lub przynajmniej jednej ściany trójkątnej jest fałszywe.
ODPOWIEDZ