Ostrosłup prawidłowy czworokątny z przekrojem

[armagonis]

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy a poprowadzono płaszczyznę przez środki kolejnych krawędzi podstawy i wierzchołek. Płaszczyzna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz pole otrzymanego przekroju

[mat_61]

Wskazówka:

1. Powstały przekrój jest trójkątem równoramiennym \(\displaystyle{ EFS}\) (\(\displaystyle{ S}\) - wierzchołek ostrosłupa \(\displaystyle{ ABCDS}\)).
2. Zaznacz wysokość \(\displaystyle{ SP}\) trójkąta \(\displaystyle{ EFS}\)
3. Znajdź odległość środka podstawy ostrosłupa \(\displaystyle{ R}\) od podstawy trójkąta \(\displaystyle{ EFS}\): \(\displaystyle{ |PR|=...(?)}\)
4. Z trójkąta \(\displaystyle{ PRS}\) wyznacz długość odcinka \(\displaystyle{ |SP|=...(?)}\)
5. Teraz to już z górki: wyznaczasz długość podstawy trójkąta \(\displaystyle{ EFS}\) i jego pole powierzchni.

[Sherlock]

Może pomoże, inne oznaczenia niż w poście mat_61

1. Zauważ podobieństwo trójkątów ABD i AFG (wyznaczysz stąd długość FG).
2. Z funkcji cosinus kąta alfa wyznacz długość EI w trójkącie prostokątnym EIH.
Pole przekroju to pole trójkąta równoramiennego EFG: \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot |FG| \cdot |EI|}\)

[wujomaro]

Do obliczenia pola przekroju będziesz potrzebować krawędzi podstawy tego trójkąta i wysokości tego trójkąta.

Krawędź podstawy można wyliczyć z Tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (\frac{a}{2}) ^{2}+ (\frac{a}{2}) ^{2}= \frac{a ^{2} }{4}}\)
Łatwo zauważyć, że odległość krawędzi podstawy trójkąta do środka podstawy ostrosłupa jest równa \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{2} }{4}}\)
Teraz trzeba obliczyć wysokośc trójkąta. Można to zrobić korzystając z funkcji\(\displaystyle{ \cos}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \frac{a \sqrt{2} }{4} }{h}}\)
gdzie h to wysokość trójkąta.
W takim razie \(\displaystyle{ h=\frac{ \frac{a \sqrt{2} }{4} }{\cos \alpha}}\)
A pole trójkąta jest równe:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}ah _{a}}\)
Gdzie a to krawędź podstawy trójkąta a h to wysokość trójkąta.
Pozdrawiam!