bryły obrotowe, przekrój osiowy

[karcia9040]

Zad.1
Trójkąt o bokach 9cm, 10cm, 17cm obraca się dookoła wysokości poprowadzonej z wierzchołka najmniejszego kąta. Oblicz objętość i pole powierzchni otrzymanej bryły.
Zad.2
Znajdź kąt pomiędzy tworzącą i płaszczyzną podstawy stożka, w którym pole przekroju osiowego jest cztery razy mniejsze od pola powierzchni.

Czy może ktoś to rozwiązać?

[Glo]

W pierwszym sprawdź sobie, że trójkąt ten jest rozwartokątny (jak to sprawdzisz?). Wiemy, że najmniejszy kąt będzie przy wierzchołku tworzonym przez dwa dłuższe boki. Z tw. cosinusów oblicz sobie kąt, jaki tam się znajduje, a raczej jego sinus. Teraz porównaj wzór na pole trójkąta zawierający ten wyliczony sinus i wzór, w który zaangażujesz podstawę na którą prowadzisz wysokość (w sumie to wysokość prowadzisz na przedłużenie podstawy, zrób rysunek!) oraz wspomnianą wysokość - w ten sposób poznasz długość interesującej Cię wysokości wokół której dokonujemy obrotu trójkąta. Popatrz teraz na trójkąt stworzony przez wysokość, podstawę oraz jej przedłużenie oraz najdłuższy bok. Jest prostokątny (dlaczego?). Wylicz więc odcinek podstawa+przedłużenie - w ten sposób dowiesz się, na ile odległy jest spodek wysokości od podstawy. Teraz już możemy przejść do części przestrzennej. Wyobrażamy sobie powstałą bryłę. Będzie to stożek, który w środku ma pustą, również stożkową, przestrzeń. Łatwo obliczysz objętość sumy tych brył (jednego, dużego stożka), a następnie objętość małego stożka w środku. Szukana objętość to różnica pierwszej i drugiej objętości.

[Sherlock]

Tak wygląda sytuacja z zad. 1

[Glo]

Sherlock, w czym robisz rysunki? Zauważyłem, że Twoje posty są zwykle bogato ilustrowane .

[Sherlock]

Powyższy w Blenderze, analityczną w GeoGebrze, inne w... Paincie

[wujomaro]

W zadaniu drugim trzeba obliczyć stosunek tworzącej stożka i promienia, innymi słowy sinus szukanego kąta. Trzeba trochę pokombinować z równością, zapisac sobie jak mają się do siebie pola powierzchni jakie podano w treści zadania.
PS Pragnę tylko zauwazyć, że Bleneder to program do tworzenia modeli 3D, czyli Sherlock, po prostu je renderujesz?
Pozdrawiam!

[Sherlock]

karcia9040, w drugim zadaniu chodzi o pole powierzchni bocznej? Jeśli tak to zauważ, że przekrojem osiowym jest trójkąt równoramienny o podstawie 2r (r - promień podstawy stożka) i wysokości opadającej na tą podstawę H (to także wysokość stożka). Zgodnie z treścią (przy założeniu, że chodzi o powierzchnię boczną):
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot H \cdot 2r= \frac{\pi rl}{4}}\)
stąd mamy
\(\displaystyle{ \frac{H}{l}= \frac{\pi}{4}}\)
Z kolei sinus szukanego kąta to... \(\displaystyle{ \sin \alpha= \frac{H}{l}}\)

-- 26 kwietnia 2012, 20:27 --

PS Pragnę tylko zauwazyć, że Bleneder to program do tworzenia modeli 3D, czyli Sherlock, po prostu je renderujesz?

no, żeby wyrenderowac to najpierw trzeba wymodelować

[karcia9040]

w 2 zadaniu chodzi o pole powierzchni całkowitej...

[Sherlock]

w 2 zadaniu chodzi o pole powierzchni całkowitej...

OK, zatem zgodnie z treścią
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot H \cdot 2r= \frac{\pi rl + \pi r^2}{4} \\ 4rH=\pi rl + \pi r^2 \\ 4H=\pi l + \pi r}\)
Znajdźmy sinus szukanego kąta czyli
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{H}{l}}\)
Potrzebujemy wyrazić tworzacą l za pomocą wysokości stożka H (lub na odwrót). Pomogą w tym powyższe równanie i tw. Pitagorasa. Podstaw do \(\displaystyle{ l^2=H^2+r^2}\) równanie \(\displaystyle{ r=\frac{4}{\pi}H-l}\) i wylicz tworzącą l. Podstaw do sinusa, wysokość się skróci...