Kula wpisana w stożek

[skubek]

W stożek o wysokości 10 wpisano kulę o promieniu 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka.

[sieniaf]

Zakładając, że jest to stożek prosty:
Rozpatrz przekrój poprowadzony prostopadle do podstawy stożka i przechodzący przez jego wierzchołek jako analogię trójkąta opisanego na okręgu. Następnie skorzystaj ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ r= \frac{2P}{a+b+c}}\) i Tw. Pitagorasa.

//Nie jestem pewny, ale wydaje mi się, że kul wpisanych w stożek nie ma obecnie na maturze.

[wujomaro]

oznacz x jako promień podstawy. Obliczysz z Tw. Pitagorasa jedną część boku trójkąta. A potem do wzoru:
\(\displaystyle{ r= \frac{2P}{a+b+c}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ 4= \frac{2 \cdot \frac{1}{2}2x \cdot 10 }{2x+2 \sqrt{5}+x+2 \sqrt{5}+x }}\)
Wyjdzie:
\(\displaystyle{ 4= \frac{20x}{4x+4 \sqrt{5} }}\)
x obliczasz z rozwiązania tego równania(najlepiej metodą proporcji) i otrzymasz promień podstawy. Do obliczenia pola całkowitego potrzebujesz tych wzorów:
\(\displaystyle{ P _{p}= \pi r ^{2}}\)
\(\displaystyle{ P _{b}= \pi rl}\)
\(\displaystyle{ P _{c}=P _{p}+P _{b}}\)
Ps Sorki za rysunek, ale nie jestem mistrzem painta
Pozdrawiam!