Wysokoć graniastosłupa (cosinus kąta między przekątnymi)

[Historyczek]

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krótsza i dłuższa przekątna wychodzące z tego samego wierzchołka tworzą kąt którego cosinus jest równy 12/13, a krawędź podstawy ma długość 10cm
a) oblicz wysokość graniastosłupa
b)nie korzystając z kalkulatora wykaż że objętość graniastosłupa wyrażona w cm3 jest liczbą należącą do przedziału (4000,4500)


Jak mogę wykorzystać ten cosinus, skoro utworzony trójkąt nie jest prostokątny?

[Mistrz]

Nie jest? Mi się wydaje, że jest.

[Historyczek]

Kąt prosty To jest ten kąt między krótszą przekątną a krawędzią podstawy?

[anna_]

Kąt prosty To jest ten kąt między krótszą przekątną a krawędzią podstawy?

Zgadza się

[Historyczek]

Napisałam więc tak:
H - wysokość bryły
d - krótsza przekątna bryły
e - dłuższa przekątna bryły
b - dłuższa przekątna podstawy \(\displaystyle{ (20 cm)}\)
c 0 krótsza przekątna podstawy \(\displaystyle{ (10 \sqrt{3} )}\)
Wyznaczam: \(\displaystyle{ d = \frac{130}{12}}\)

\(\displaystyle{ h^{2} + (10 \sqrt{3})^{2} = (\frac{12e}{13})^{2}}\)
\(\displaystyle{ 400 + h^{2} = e^{2}}\)

EDIT: Ok. Dałam radę.
\(\displaystyle{ h^{2} = \frac{144 e^{2} }{169} - 300
h^{2} = \frac{144e^{2} - 50700}{169}}\)


\(\displaystyle{ \frac{144e^{2} - 50700}{169} = e^{2} - 400
144e^{2} - 50700 = 169e^{2} - 67600
25 e^{2} = 16900
e = 26

h^{2} = 26^{2} - 400
h = 2\sqrt{69}}\)


Bardzo dziękuję za pomoc w odnalezieniu kąta prostego. O to rozbiło mi się całe zadanie.

[arek5195]

Może mi ktoś wytłumaczyć co oznacza zapis:\(\displaystyle{ (\frac{12e}{13})^{2}}\)
Skąd się wzięła literka "e" przy 12?

Prosiłbym także o wytłumaczenie tego zapisu:
\(\displaystyle{ \frac{144e^{2} - 50700}{169} = e^{2} - 400
144e^{2} - 50700 = 169e^{2} - 67600
25 e^{2} = 16900
e = 26}\)

Dziękuje z góry, męczę się z tym zadaniem ponad godzinę i nic sensownego nie mogę wymyślić...

[anna_]

graniastosłup sześciokątny.png (14.94 KiB) Przejrzano 3957 razy

Z trójkąta \(\displaystyle{ BCE'}\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha= \frac{d}{e}}\)
\(\displaystyle{ \frac{d}{e}= \frac{12}{13}}\)
\(\displaystyle{ d= \frac{12}{13}e}\)

Z trójkąta \(\displaystyle{ CEE'}\)
\(\displaystyle{ H^{2} +c^2=d^2\\
H^2+ (10 \sqrt{3})^{2} = \left( \frac{12e}{13}\right)^{2}}\)

Z trójkąta \(\displaystyle{ BEE'}\)
\(\displaystyle{ H^2+b^2=e^2}\)
\(\displaystyle{ H^2+20^2=e^2}\)-- dzisiaj, o 19:34 --

\(\displaystyle{ \frac{144e^{2} - 50700}{169} = e^{2} - 400\\
144e^{2} - 50700 = 169e^{2} - 67600\\
25 e^{2} = 16900\\
e = 26}\)