objętość ostrosłupa

[primabalerina01]

Prosze o sprawdzenie bo dziwne wyniki wychodzą

W ostrosłupie trójkątnym \(\displaystyle{ ABCS}\) o podstawie \(\displaystyle{ ABC}\) i wierzchołku \(\displaystyle{ S}\) dane są: \(\displaystyle{ |AB|=|AC|=|SB|=|SC|=9}\) i \(\displaystyle{ |AS|=|BC|=8}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.



Obliczyłam najpierw pole podstawy korzystając z wzoru gdzie wykorzystuje się połowę obwodu (czyli \(\displaystyle{ 13}\)):
\(\displaystyle{ P_p= \sqrt{13(13-9)(13-9)(13-8)}\\
P_p=4 \sqrt{65}}\)

Potem policzyłam \(\displaystyle{ R}\) aby następnie policzyć \(\displaystyle{ H}\) w trójkąta prostokątątnego:
\(\displaystyle{ P_p= \frac{abc}{4R} \\
4 \sqrt{65}= \frac{648}{4R} \\
R= \frac{162 \sqrt{65} }{260}}\)

\(\displaystyle{ H ^{2}+R ^{2}=9 ^{2}}\)

Bardzo brzydkie to \(\displaystyle{ H}\) wychodzi i nie wiem moze mam błąd bo chyba nie powinno się tak źle liczyć

[major37]

Skąd wiesz że spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego ?

[primabalerina01]

no nie wiem tak właściwie sama założyłam bo tak jest przeważnie, to ja nie wiem jak inaczej moge to zrobic

[major37]

Nie możesz tak sobie założyć. Na razie nie mam pomysłu na to.

[Tmkk]

Podpowiem, że jeżeli trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest podobny (a nawet przystający) do trójkąty \(\displaystyle{ BCS}\), to spodek wysokości ostrosłupa musi leżeć na wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) opuszczonej na podstawę \(\displaystyle{ BC}\).

[major37]

A skąd żeś to wytrzasnął ? Teraz jest już łatwo Tylko skąd te Twoje twierdzenie ?-- 14 kwi 2012, o 17:50 --Pokaż dowód tego co mówisz Tmkk

[Jan Kraszewski]

A skąd żeś to wytrzasnął ?

Pomyśl o płaszczyźnie, przechodzącej przez \(\displaystyle{ A, S}\) i środek boku \(\displaystyle{ BC}\).

JK

[primabalerina01]

ale jak teraz wyskość ostroslupa obliczyc ?

[Tmkk]

To nie jest żadne twierdzenie.

\(\displaystyle{ D}\) - środek odcinka \(\displaystyle{ BC}\)
\(\displaystyle{ S'}\) - rzut prostokątny wierzchołka \(\displaystyle{ S}\) na podstawę \(\displaystyle{ ABC}\).

Mamy ostrosłup trójkątny \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym zarówno podstawa \(\displaystyle{ ABC}\) (gdzie \(\displaystyle{ |AB| = |AC|}\)), jak i ściana \(\displaystyle{ BCS}\) są trójkątami równoramiennymi. Poprowadzę sobie płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi_1}\) przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ ASD}\) (czyli przez wysokość podstawy i wierzchołek ostrosłupa) oraz płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi_2}\) przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ ABC}\).

Wystarczy teraz stwierdzić, że \(\displaystyle{ \pi_2 \perp SS'}\), a prosta \(\displaystyle{ SS'}\) jest zawarta w płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi_1}\), bo \(\displaystyle{ |SD| \perp \pi_2}\) oraz \(\displaystyle{ |SA| \perp \pi_2}\) (np z twierdzenia o \(\displaystyle{ 3}\) prostych prostopadłych)

W takim razie \(\displaystyle{ \pi_1 \perp \pi_2}\)

Edytowałem, trochę więcej sensu to teraz ma.

A co do tego, jak teraz obliczyć wysokość, to wystarczy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

[primabalerina01]

Wiem że tw. Pitagorasa tylko nie wiem wkońcu co do czego
\(\displaystyle{ H ^{2}+r ^{2}=h ^{2}}\)

r-promień okregu wpisanego w podstawe
h-wysokość ściany bocznej

[major37]

A po co Ty znowu tam okrąg wpisujesz ? Policz sobie wysokość podstawy puszczoną na \(\displaystyle{ BC}\). Spodek wysokości leży na tej wysokości puszczonej na \(\displaystyle{ BC}\). Ta wysokość puszczona z \(\displaystyle{ A}\) na \(\displaystyle{ BC}\) jest taka sama jak wysokość puszczona z \(\displaystyle{ S}\) na \(\displaystyle{ BC}\). Niech wysokość puszczana na \(\displaystyle{ BC}\) to \(\displaystyle{ x}\) więc masz trójkąt o bokach \(\displaystyle{ AS,x,x}\). Teraz w tym trójkącie puszczasz wysokość na \(\displaystyle{ x}\). I liczysz z pitagorasa. Masz układ równań z dwoma niewiadomymi lub możesz z z kosinusów policzyć kąt a wtedy wysokość z funkcji trygonometrycznych

[Sherlock]

to spodek wysokości ostrosłupa musi leżeć na wysokości trójkąta ABC opuszczonej na podstawę BC.

Do tego wniosku można dojść też w taki sposób:

Po lewej, dla czytelności wywodu, mamy niepełny rysunek ostrosłupa. Wiemy, że \(\displaystyle{ |SB|=|SC|=9}\) oraz \(\displaystyle{ S}\) to wierzchołek ostrosłupa. Narysujmy wysokość H mającą na ścianie ABC spodek W - na razie nie zakładamy gdzie leży. Połączmy W z B i C. Powstały trójkąty prostokątne CWS i BWS. Mają dwa identyczne boki (o długościach 9 i H) więc z tw. Pitagorasa możemy dowieść, że \(\displaystyle{ |CW|=|BW|}\). Czyli wiemy już, że spodek W jest równo odległy od punktów B i C - w naszym trójkącie równoramiennym ABC (\(\displaystyle{ |AB|=|AC|}\)) punkty spełniające ten warunek leżą na prostej zawierającej wysokość opuszczoną z wierzchołka A na bok BC.