obliczenie objętości ostrosłupa

[major37]

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mając długość krawędzi podstawy \(\displaystyle{ 6}\) i miarę \(\displaystyle{ 120 ^\circ}\) kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi. Chcę zrobić innym sposobem niż autor w książce. Więc najpierw z twierdzenia kosinusów wyznaczam wysokość ściany bocznej padającej na krawedź boczną ostrosłupa. I ta wysokość to \(\displaystyle{ 2 \sqrt{6}}\) Wyznaczam z pitagorasa ten kawałek krawędzi bocznej i wychodzi mi \(\displaystyle{ 2 \sqrt{3}}\) Jak wyznaczyć długość krawędzi ? Potrzebne mi to do obliczenia wysokości ściany bocznej a potem do wysokości ostrosłupa. Na pewno pójdzie z podobieństwa trójkątów ale da radę inaczej ?

[Simon86]

Obliczenia wykonane do tej pory masz dobre, nie potrzebnie z twierdzenia kosinósów sie męczyć tą wysokość można też wyznaczyć za pomocą sinusa

\(\displaystyle{ \sin60^{o} = \frac{3 \sqrt{2}}{x}}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ x= 2 \sqrt{6}}\)

\(\displaystyle{ x}\) - wysokość padająca na ścianą boczną

narysuj sobie ścianę boczną i wysokość którą sobie obliczyłeś podającą na krawędź ściany bocznej i oznaczmy tą krawędź jako \(\displaystyle{ b}\) to zauważysz że:

\(\displaystyle{ b^{2} = \left( 2 \sqrt{6} \right) ^{2} + \left( b - 2 \sqrt{3}\right)^{2}}\)
\(\displaystyle{ b^{2} = 24 + b^{2} - 4b \sqrt{3} + 12}\)
\(\displaystyle{ 4b \sqrt{3} = 36}\)
\(\displaystyle{ b = \frac{36}{4 \sqrt{3}}= 3 \sqrt{3}}\)

[major37]

Dzięki Nie wpadłem na to