graniastosłup, ostrosłup, stożek

[zenek781]

1. Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach dł. \(\displaystyle{ 12 \ i \ 5.}\) Długość przekątnej graniastosłupa jest równa \(\displaystyle{ 17.}\) Wyznacz objętość graniastosłupa i cosinus kąta nachylenia jego przekątnej do płaszczyzny podstawy.
~` Wyszło mi \(\displaystyle{ V = 120 \sqrt{30}}\), a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ V=120 \sqrt{3}}\); ja zrobiłem błąd czy w odp jest błąd??

2. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy \(\displaystyle{ 16}\). Kąt między przeciwległymi krawędziami bocznymi ma miarę \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\). Wyznacz objętośc i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
~` Wyszło mi: \(\displaystyle{ H = \frac{8 \sqrt{3}}{3}}\), \(\displaystyle{ V= \frac{2048 \sqrt{3}}{9}}\) oraz \(\displaystyle{ h = \frac{8 \sqrt{3}}{3}}\), \(\displaystyle{ Pb = \frac{256 \sqrt{3}}{3}}\) i . W odp mam, że \(\displaystyle{ V= \frac{2048 \sqrt{6}}{9}}\), a \(\displaystyle{ Pb = \frac{256 \sqrt{15}}{3}}\). Gdzie jest błąd ??

3. Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\), pole przekroju osiowego jest równe \(\displaystyle{ 16 \sqrt{3}}\). Oblicz objętość stożka oraz pole powierzchni kuli, której promień jest równy promieniowi podstawy stożka.



z góry dzięki

[wujomaro]

Zad 1
Zauważ, że podane masz 2 krawędzie, czyli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). A wzór na przekątną bryły to:
\(\displaystyle{ D= \sqrt{a ^{2}+b ^{2}+c ^{2} }}\)
więc \(\displaystyle{ c= \sqrt{120} = 2 \sqrt{30}}\)
\(\displaystyle{ V=abc=12 \cdot 5 \cdot 2 \sqrt{30}=120 \sqrt{30}}\)
Więc mi też wychodzi taki wynik, czyli albo obaj źle liczymy, albo jest błąd w odpowiedziach.
A cosinus kąta nachylenia do przekątnej podstawy ile Ci wychodzi? Sprawdź tez jaka jest odpowiedz w książce.
Zad2
W zadaniu 2 wychodzą mi wyniki takie jak w odpowiedziach, podpowiem tylko, że kąt \(\displaystyle{ 120^\circ}\) jest między przeciwległymi krawędziami, a nie między przeciwległymi bokami.
Zad 3
Podziel ten trójkąt na 2, które mają kąty \(\displaystyle{ 30^\circ, 60^\circ}\) i \(\displaystyle{ 90^\circ}\), z czego łatwo obliczysz długość boku, bo :
\(\displaystyle{ P=2 \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}}\)
A promień kuli to promień podstawy stożka, czyli na naszym przekroju połowa podstawy trójkąta o kątach \(\displaystyle{ 120^\circ, 30^\circ}\) i \(\displaystyle{ 30^\circ}\).
Pozdrawiam!

[zenek781]

w trzecim zadaniu, ten kąt w którym miejscu będzie ? przy wierzchołku stożka?

[wujomaro]

Przekrój wygląda tak, że na górze jest kąt \(\displaystyle{ 120^\circ}\), a na dole po bokach 2 trójkąty o kątach \(\displaystyle{ 30^\circ}\). Wystaw sobie wysokość, która podzieli kąt \(\displaystyle{ 120^\circ}\) na dwa równe po \(\displaystyle{ 60^\circ}\). Czyli powstały nam 2 trójkąty i wybierzmy jeden z nich. W trójkącie \(\displaystyle{ 30^\circ, 60^\circ}\) i \(\displaystyle{ 90^\circ}\) boki mają: \(\displaystyle{ a, 2a}\) oraz \(\displaystyle{ a \sqrt{3}}\)
Więc wysokośc stożka to \(\displaystyle{ a, 2a}\) to tworząca stożka a \(\displaystyle{ a \sqrt{3}}\) to promień podstawy.
Pozdrawiam!

[zenek781]

dlaczego tworząca to \(\displaystyle{ 2a}\), a \(\displaystyle{ r = a \sqrt{3}}\)??

[anna_]

3.

AU

bf3de61f793b369a.png (4.04 KiB) Przejrzano 262 razy

[/url]

Wyznaczam \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ \tg60^o= \frac{r}{h}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3} = \frac{r}{h}}\)
\(\displaystyle{ r =h \sqrt{3}}\)

Obliczam \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{2rh}{2} =rh}\)
\(\displaystyle{ h \sqrt{3} \cdot h=16 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ h^2=16}\)
\(\displaystyle{ h=4}\)

Obliczam \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ r =h \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ r=4 \sqrt{3}}\)