Ostrosłup prawidłowy trójkątny wpisany w kule. Oblicz V

[Zielinsky]

Ostrosłup prawidłowy trójkątny o długości krawędzi podstawy równej a wpisany jest w kulę, przy czym środek tej kuli dzieli wysokość ostrosłupa w stosunku \(\displaystyle{ \sqrt{5}: 1}\), licząc od wierzchołka. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Przyjmując że wysokość tego ostrosłupa ma długość \(\displaystyle{ x( \sqrt{5} +1)}\)
to po kilku obliczeniach doszedłem do tego że:

\(\displaystyle{ x= \frac{a \sqrt{3} }{3} tg \alpha}\)

oraz z trójkąta: WCS (W- wierzchołek trójkąta, S - spodek wysokości) że:

\(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{3x( \sqrt{5}+1) }{a \sqrt{3} }}\)

Po rozwiązaniu tego układu równań dochodzimy do sprzeczności, a sprawdziłem każdy mój krok i nie mogę znaleźć błędu. Pomóżcie proszę.

[piasek101]

Z tego, że \(\displaystyle{ R=\sqrt 5 x}\) dostałem \(\displaystyle{ x=\frac{a\sqrt 3}{6}}\)

[Zielinsky]

A w jaki sposób do tego doszedłeś i z czego skorzystałeś obliczając x dzięki R?

[mattrym]

Zauważ, że środek koła dzieli wysokość na dwa odcinki, przy czym odcinek między środkiem koła a wierzchołkiem to promień koła. Załóżmy, że jest to \(\displaystyle{ \sqrt{5} x}\). Wówczas od środka do punktu styczności wysokości z płaszczyzną podstawy jest \(\displaystyle{ x}\). Poprowadź promień do wierzchołka przy podstawie - otrzymasz trójkąt prostokątny, złożony z odcinka między środkiem koła a podstawą, \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)wysokości podstawy (wysokość opada na środek ciężkości, który w przypadku trójkąta równobocznego jest również ortocentrum) - oznaczmy ten odcinek jako z, oraz wspomnianego promienia. Wychodzi:
\(\displaystyle{ (\sqrt{5}x)^{2} = x^{2} + z^{2}}\)
\(\displaystyle{ z=2x}\)
\(\displaystyle{ 2x= \frac{2}{3} \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{a \sqrt{3} }{6}}\)