objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego

[Myszka040]

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, którego krawędź boczna ma długość 9 i jest nachylona do podstawy pod kątem 30°.

[wujomaro]

Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 30*. Tworzy trójkąt, w którym kąty są 30* 60* i 90*. A w takim trójkącie boki mają długości: \(\displaystyle{ a, 2a, a \sqrt{3}}\). Więc 2a to krawędź boczna, a to wysokośc bryły, a \(\displaystyle{ a \sqrt{3}}\) to promień okręgu opisanego na podstawie.
Czyli wyskokość bryły ma \(\displaystyle{ \frac{9}{2}=4,5}\) a promień okręgu opisanego na podstawie ma \(\displaystyle{ 4,5 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ H=4,5}\)
Wzór na promień okręgu opisanego w trójkącie równobocznym (ponieważ taki jest w podstawie) to
\(\displaystyle{ R= \frac{2h}{3}}\), gdzie h to wysokośc podstawy. Wychodzi nam, że :
\(\displaystyle{ \frac{2h}{3}=4,5 \sqrt{3} \rightarrow h=6,75 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{2} \rightarrow a=13,5}\)

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} P _{p} \cdot H}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4} \cdot H}\)
\(\displaystyle{ V= ?}\)

[Myszka040]

No dobra ale nie rozumiem z kąd wzięła się wysokość H? Jak ją obliczyć??

[wujomaro]

Rzeczywiście, może nie wyraźnie powiedziałem.
2a to krawędź boczna, a to wysokośc bryły, a \(\displaystyle{ a \sqrt{3}}\) to promień okręgu opisanego na podstawie.
Więc 2a=9
a=4,5
a to wysokość bryły.
Pozdrawiam!