kat rozwarcia stozka

[DarkStunt]

Witam
mam problem z tym zadaniem:


Kąt rozwarcia stożka ma miare \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz miare (w radianach) kata srodkowego rozwinietej powierzchni bocznej tego stożka.

z gory dzieki za pomoc

[anna_]

L - długość łuku rozwiniętej powierzchni bocznej tego stożka
l - tworząca stożka
r - promień podstawy stożka
\(\displaystyle{ \beta}\) - kąt środkowy rozwiniętej powierzchni bocznej tego stożka
Obliczam r
\(\displaystyle{ sin{\frac {\alpha}{2}}=\frac{r}{l}\\
r=lsin\frac {\alpha}{2}}\)
Obliczam obwód podstawy
\(\displaystyle{ Ob=L=2\pi r\\
L=2\pi \cdot lsin\frac {\alpha}{2}}\)
Obliczam \(\displaystyle{ \beta}\)
\(\displaystyle{ \beta=\frac{L}{l}\\
\beta=\frac{2\pi \cdot lsin\frac {\alpha}{2}}{l}\\
\beta=2\pi sin{\frac {\alpha}{2}}\)

[DarkStunt]

czemu w \(\displaystyle{ \beta}\)

obwod dzieli sie przez tworzaca?.

[anna_]

Bo tak oznaczyłam ten kąt.

[DarkStunt]

nadal nie rozumiem czemu podzielić przez l

[dafix]

Jeżeli się nie mylę to jest to ze wzoru na wycinek kołowy.

[Sherlock]

Można też tak:

Stosunek kąta \(\displaystyle{ \beta}\) do kąta pełnego \(\displaystyle{ 2\pi}\) ma się jak obwód koła o promieniu r (promień podstawy stożka) do obwodu koła o promieniu l (tworząca stożka). Skąd ta proporcja? Zerknij na stożek i rozwiniętą powierzchnię boczną (ujęcie z perspektywy). To co było obwodem podstawy stożka jest w rozwinięciu łukiem wycinka.
\(\displaystyle{ \frac{\beta}{2\pi}= \frac{2\pi r}{2 \pi l} \\ \frac{\beta}{2\pi}= \frac{r}{l} \\ \frac{\beta}{2 \pi}=sin \frac{\alpha}{2}}\)

[DarkStunt]

dziekuje za wytlumaczenie

super prosto i przejrzyscie;]