Objętość i pole całkowite brył

jankawachi · Post autor: **jankawachi** » 18 mar 2012, o 15:43

Cześć! Mam pewne zadanko na matme, ale nie mogę sobie z nim poradzić. Proszę o pomoc, mam je na jutro.

"Oblicz objętość i pole całkowite brył powstałych w wyniku obrotu zacieniowanych figur wokół wskazanych osi"

Zdjęcia:
... c0795a.jpg - 1
... 56a6d1.jpg - 2
http://static.zadane.pl/files/db5/7c7b5 ... 408bac.jpg - 3

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 18 mar 2012, o 15:55

Wskazówka:

c) walec \(\displaystyle{ \left( H=6; \ r=2\right)}\) z wyciętym stożkiem \(\displaystyle{ \left( H=6; \ r=2\right)}\)

b) tak naprawdę na rysunku brakuje wymiarów ale zakłądając, że tą figurą jest trapez równoramienny, to powstałą bryłą będzie walec (\(\displaystyle{ H=4; \ r=2}\)) z "doklejonymi" do podstaw dwoma stożkami \(\displaystyle{ \left( H=2; \ r=2\right)}\)

d) tak naprawdę na rysunku brakuje wymiarów ale zakładając, że tą figurą jest równoległobok, a pokazany trójkąt jest równoramienny, to powstałą bryłą będzie walec \(\displaystyle{ \left( H=7; \ r=3\right)}\) z dwoma stożkami \(\displaystyle{ \left( H=3; \ r=3\right)}\): jednym wyciętym i jednym "doklejonym"

jankawachi · Post autor: **jankawachi** » 18 mar 2012, o 16:05

Z objętościami sobie poradziłem, ale gorzej z polami całkowitymi. Nie wiem jak to policzyć, bo wiem że w niektórych trzeba pominąć pole podstawy i poobliczać pole boczne.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 18 mar 2012, o 16:30

Wyobraź sobie jak będą wyglądać te bryły.

c) pole podstawy walca + pole powierzchni bocznej walca + pole powierzchni bocznej stożka

b) d) pole powierzchni bocznej walca + dwa pola powierzchni bocznej stożka

jankawachi · Post autor: **jankawachi** » 18 mar 2012, o 16:56

Mógłbyś mi pomóc z przykładem D? Całkowicie go nie ogarniam :/.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 18 mar 2012, o 17:04

Taka bryła mogłaby powstać w ten sposób:

Masz walec o wymiarach \(\displaystyle{ \left( H=7; \ r=3\right)}\).
Z dołu tego walca wycinasz stożek o takiej samej podstawie jak walec i wysokości \(\displaystyle{ H=3}\)
wycięty stożek "przyklejasz" do do górnej podstawy walca.

Pole powierzchni tej bryły to: powierzchnia boczna walca + powierzchnia boczna wyciętego stożka na dole walca + powierzchnia boczna stożka "doklejonego" do górnej podstawy walca.

jankawachi · Post autor: **jankawachi** » 18 mar 2012, o 17:08

Czyli wystarczy obliczyć pole całkowite walca, gdyż ten na górze stożek pokryje wycięty stożek na dole, nie?
I tak samo z objętością, wystarczy obliczyć objętość walca z "doklejonym" stożkiem górnym na miejscu wyciętego.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 18 mar 2012, o 17:26

Czyli wystarczy obliczyć pole całkowite walca, gdyż ten na górze stożek pokryje wycięty stożek na dole, nie?

Nie rozumiem Twojego pytania i mam wątpliwości czy wiesz jak wygląda powstała bryła.

Masz walec i wykonujesz dwie operacje:
a) z dołu wycinasz do wewnątrz walca taki stożek, że podstawa walca jest także podstawą stożka.
b) ten wycięty stożek przyklejasz na górną podstawę stożka.

Powstała bryła wygląda tak jak okrągły zaostrzony ołówek z którego drugiej strony jest wycięcie takiego kształtu, że można do niego włożyć stożkową końcówkę drugiego tak samo zaostrzonego ołówka.

Oznacza to, że objętość bryły będzie równa objętości walca (bo taką samą objętość należy odjąć na dole walca jaką trzeba dodać na górze walca)

Natomiast jeżeli chodzi o pole powierzchni, to należy obliczyć pole powierzchni bocznej walca a nie pole całkowite.
Przecież po wycięciu stożka na spodzie walca zamiast pola podstawy walca pojawi się pole powierzchni bocznej stożka.
Podobnie na górze walca zamiast pola podstawy walca pojawi się także pole powierzchni bocznej stożka.

jankawachi · Post autor: **jankawachi** » 18 mar 2012, o 17:30

Aha, okay. Twój post rozjaśnił wszystkie moje wątpliwości. Dzięki!